Considere um anel de raio a com cargas
e
distribuídas uniformemente em cada uma de suas metades. Mostre que a componente do campo elétrico perpendicular ao eixo do anel é dada por:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um anel com raio
onde as cargas
e
estão distribuídas de forma uniforme em cada metade do anel. A pergunta é para mostrar que a componente do campo elétrico perpendicular ao eixo do anel é dada pela fórmula:
Vamos usar conceitos de eletricidade e magnetismo, especialmente sobre campos elétricos gerados por distribuições de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “componente perpendicular ao eixo do anel”. Imagine o anel no plano XY, com o eixo do anel sendo o eixo Z. A componente perpendicular seria, então, no plano XY.
Passo 3
Vamos considerar um ponto qualquer no espaço onde queremos calcular o campo elétrico. Esse ponto está a uma distância
ao longo do eixo Z do anel.
Passo 4
A carga
está distribuída em uma metade do anel e
na outra metade. Como as cargas estão uniformemente distribuídas, podemos tratar cada metade como uma distribuição linear de carga.
Passo 5
O campo elétrico
devido a uma distribuição de carga pode ser calculado pela integral:
Onde
é um elemento de carga,
é o vetor que vai do elemento de carga até o ponto onde estamos calculando o campo, e
é a distância entre eles.
Passo 6
Vamos considerar que, para cada meio anel, o campo gerado em direção ao eixo Z tem uma componente devido à simetria que cancela as componentes no plano XY. Mas como estamos interessados na componente perpendicular, vamos focar nessa parte do campo.
Passo 7
Para cada carga
e
, a componente perpendicular do campo elétrico no ponto a distância
do centro do anel é:
Passo 8
Como as cargas são
e
em metades opostas, a diferença nas cargas resulta na diferença das componentes do campo:
Passo 9
Fatorando os termos semelhantes, temos:
Passo 10
Simplificando os fatores, chegamos à expressão final desejada:
Resposta
A componente do campo elétrico perpendicular ao eixo do anel é dada por:
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localizada em
e a carga -q em
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e
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. onde
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.
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.