Considere um anel de raio a com cargas e distribuídas uniformemente em cada uma de suas metades. Mostre que a componente do campo elétrico perpendicular ao eixo do anel é dada por: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um anel com raio onde as cargas e estão distribuídas de forma uniforme em cada metade do anel. A pergunta é para mostrar que a componente do campo elétrico perpendicular ao eixo do anel é dada pela fórmula:
Vamos usar conceitos de eletricidade e magnetismo, especialmente sobre campos elétricos gerados por distribuições de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “componente perpendicular ao eixo do anel”. Imagine o anel no plano XY, com o eixo do anel sendo o eixo Z. A componente perpendicular seria, então, no plano XY.

Passo 3

Vamos considerar um ponto qualquer no espaço onde queremos calcular o campo elétrico. Esse ponto está a uma distância ao longo do eixo Z do anel.

Passo 4

A carga está distribuída em uma metade do anel e na outra metade. Como as cargas estão uniformemente distribuídas, podemos tratar cada metade como uma distribuição linear de carga.

Passo 5

O campo elétrico devido a uma distribuição de carga pode ser calculado pela integral:
Onde é um elemento de carga, é o vetor que vai do elemento de carga até o ponto onde estamos calculando o campo, e é a distância entre eles.

Passo 6

Vamos considerar que, para cada meio anel, o campo gerado em direção ao eixo Z tem uma componente devido à simetria que cancela as componentes no plano XY. Mas como estamos interessados na componente perpendicular, vamos focar nessa parte do campo.

Passo 7

Para cada carga e , a componente perpendicular do campo elétrico no ponto a distância do centro do anel é:

Passo 8

Como as cargas são e em metades opostas, a diferença nas cargas resulta na diferença das componentes do campo:

Passo 9

Fatorando os termos semelhantes, temos:

Passo 10

Simplificando os fatores, chegamos à expressão final desejada:

Resposta

A componente do campo elétrico perpendicular ao eixo do anel é dada por:

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