Considere um cilindro infinito de raio R com uma densidade de carga dada por rho=A r^2. onde A é uma constante e r é a distância ao eixo do cilindro. Mostre que o módulo do campo elétrico para r é dado por E=Ar^3 /(4 varepsilon0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro infinito com raio e uma densidade de carga que varia com a distância ao eixo, dada por . Nosso objetivo é encontrar o módulo do campo elétrico para pontos dentro do cilindro, ou seja, quando . Para isso, vamos usar a Lei de Gauss da eletrostática, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos com simetria adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que diz:
oint E cdot dA = Qintvarepsilon0
Isso significa que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada (a superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante .

Passo 3

Agora, precisamos escolher uma superfície gaussiana que facilite os cálculos. Já que o cilindro é infinito e a densidade de carga depende apenas da distância ao eixo, a simetria do problema é cilíndrica. Então, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja um cilindro concêntrico com o cilindro de carga, com raio (onde ) e comprimento .

Passo 4

Vamos calcular a carga total Qint = integral0^r A cdot r'^2 cdot 2pi r' , dr' cdot L = 2pi A L integral0^r r'^3 , dr' dentro da nossa superfície gaussiana. A densidade de carga é Qint = 2pi A L [ r'^44 ]0^r = 2pi A L r^44 = pi A L r^42 , então a carga em um diferencial de volume é . Em coordenadas cilíndricas, . Integrando de a :
Calculando a integral:

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei de Gauss. O fluxo elétrico PhiE = E cdot 2pi r L através da superfície gaussiana é:
E cdot 2pi r L = pi A L r^42 varepsilon0
Igualando ao E cdot 2r = A r^42 varepsilon0 :
E = A r^34 varepsilon0
Podemos simplificar dos dois lados:
Resolvendo para :

Resposta

O módulo do campo elétrico para E = A r^34 varepsilon0 é dado por:

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