Considere um cilindro infinito de raio
com uma densidade de carga dada por
. onde
é uma constante e r é a distância ao eixo do cilindro. Mostre que o módulo do campo elétrico para
é dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro infinito com raio
e uma densidade de carga que varia com a distância ao eixo, dada por
. Nosso objetivo é encontrar o módulo do campo elétrico
para pontos dentro do cilindro, ou seja, quando
. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss da eletrostática, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos com simetria adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que diz:
Isso significa que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada (a superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante
.
Passo 3
Agora, precisamos escolher uma superfície gaussiana que facilite os cálculos. Já que o cilindro é infinito e a densidade de carga depende apenas da distância ao eixo, a simetria do problema é cilíndrica. Então, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja um cilindro concêntrico com o cilindro de carga, com raio
(onde
) e comprimento
.
Passo 4
Vamos calcular a carga total
dentro da nossa superfície gaussiana. A densidade de carga é
, então a carga em um diferencial de volume
é
. Em coordenadas cilíndricas,
. Integrando de
a
:
Calculando a integral:
Passo 5
Agora, aplicamos a Lei de Gauss. O fluxo elétrico
através da superfície gaussiana é:
Igualando ao
:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Resolvendo para
:
Resposta
O módulo do campo elétrico para
é dado por: