Um dipolo elétrico está sobre o eixo dos y com a carga positiva localizada em e a carga -q em . Mostre que para pontos distantes as componentes do campo elétrico no plano xy são dadas por: e onde p é o momento de dipolo elétrico.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um dipolo elétrico colocado ao longo do eixo y, com uma carga positiva em e uma carga negativa em . O objetivo é mostrar que, para pontos distantes, as componentes do campo elétrico no plano xy são dadas pelas expressões fornecidas, que envolvem o momento de dipolo elétrico . Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do campo elétrico de um dipolo e aplicar um pouco de álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é um dipolo elétrico. Um dipolo consiste em duas cargas de sinais opostos, separadas por uma distância. O momento de dipolo elétrico é definido como , onde é o vetor que vai da carga negativa para a positiva. No nosso caso, como as cargas estão ao longo do eixo y, .

Passo 3

Para pontos distantes do dipolo, ou seja, quando a distância até o ponto onde estamos calculando o campo é muito maior que a separação das cargas ( ), podemos usar a aproximação de campo de dipolo. A expressão geral para o campo elétrico de um dipolo no espaço é:
Aqui, é o vetor unitário na direção de , e é a distância até o ponto onde estamos calculando o campo.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula aos pontos no plano xy. Primeiro, expressamos o vetor em coordenadas cartesianas:
E a distância é:
O vetor unitário será então:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Como , temos:
Substituindo na expressão do campo elétrico:

Passo 6

Vamos simplificar os termos:
Multiplicando os termos:

Passo 7

Agrupando os componentes de e :
Simplificando a componente :
Então:

Resposta

Portanto, as componentes do campo elétrico no plano xy para pontos distantes são:

Exercícios relacionados

Considere um cilindro infinito de raio com uma densidade de carga dada por . onde é uma constante e r é a distância ao eixo do cilindro. Mostre que o módulo do campo elétrico para é dado por .
(b) Mostre que para a autoindutância do toróide tem a mesma forma que a de um solenoide , em que é a área da seção transversal e l o comprimento do solenoide).
Considere um anel de raio a com cargas e distribuídas uniformemente em cada uma de suas metades. Mostre que a componente do campo elétrico perpendicular ao eixo do anel é dada por: .
  • Um rodo de limpar a casa consta de uma haste de madeira de 160 cm de comprimento e 240 gramas de massa, preso na extremidade da haste está a peça fundamental do rodo, cuja massa é de 200 gramas. Considerando a haste de espessura uniforme e a peça do rodo fina e bem localizada na extremidade, determinar a posição do centro de massa do rodo em relação à extremidade livre.