Um dipolo elétrico está sobre o eixo dos y com a carga positiva localizada em e a carga -q em . Mostre que para pontos distantes as componentes do campo elétrico no plano xy são dadas por: e onde p é o momento de dipolo elétrico.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um dipolo elétrico colocado ao longo do eixo y, com uma carga positiva em e uma carga negativa em . O objetivo é mostrar que, para pontos distantes, as componentes do campo elétrico no plano xy são dadas pelas expressões fornecidas, que envolvem o momento de dipolo elétrico . Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do campo elétrico de um dipolo e aplicar um pouco de álgebra vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é um dipolo elétrico. Um dipolo consiste em duas cargas de sinais opostos, separadas por uma distância. O momento de dipolo elétrico é definido como , onde é o vetor que vai da carga negativa para a positiva. No nosso caso, como as cargas estão ao longo do eixo y, .
Passo 3
Para pontos distantes do dipolo, ou seja, quando a distância até o ponto onde estamos calculando o campo é muito maior que a separação das cargas (), podemos usar a aproximação de campo de dipolo. A expressão geral para o campo elétrico de um dipolo no espaço é:
Aqui, é o vetor unitário na direção de , e é a distância até o ponto onde estamos calculando o campo.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula aos pontos no plano xy. Primeiro, expressamos o vetor em coordenadas cartesianas:
E a distância é:
O vetor unitário será então:
Passo 5
Agora, vamos calcular . Como , temos:
Substituindo na expressão do campo elétrico:
Passo 6
Vamos simplificar os termos:
E = 14pi varepsilon0 [ 3p y (x x + y y)(x^2 + y^2)^2 - p y(x^2 + y^2)^3/2 ]
Multiplicando os termos:
E = p4pi varepsilon0 [ 3xy x + 3y^2 y - (x^2 + y^2) y(x^2 + y^2)^5/2 ]
Passo 7
Agrupando os componentes de E = p4pi varepsilon0 [ 3xy(x^2 + y^2)^5/2 x + 3y^2 - (x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^5/2 y ] e 3y^2 - x^2 - y^2 = 2y^2 - x^2 :
E = p4pi varepsilon0 [ 3xy(x^2 + y^2)^5/2 x + 2y^2 - x^2(x^2 + y^2)^5/2 y ]
Simplificando a componente :
Então:
Resposta
Portanto, as componentes do campo elétrico no plano xy para pontos distantes são:
Ex = 14pi varepsilon0 cdot 3pxy(x^2 + y^2)^5/2
Ey = 14pi varepsilon0 cdot p(2y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^5/2