Considere um anel de raio a com cargas qi e q2 distribuídas uniformemente em cada uma de suas metades. Mostre que a componente do campo elétrico perpendicular ao eixo do anel é dada por: .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um anel de raio com duas cargas e distribuídas de forma uniforme em cada metade dele. A gente precisa mostrar que a componente do campo elétrico perpendicular ao eixo do anel é dada por:
Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Coulomb e a superposição de campos elétricos de distribuições de carga.

Passo 2

Vamos começar definindo o sistema de coordenadas. Imagine o anel no plano com seu centro na origem. O eixo do anel será o eixo . A distância é a posição ao longo do eixo onde queremos calcular o campo elétrico.

Passo 3

Sabemos que o campo elétrico devido a uma pequena carga em um ponto a uma distância é dado por:
Onde é o vetor unitário na direção de .

Passo 4

No nosso caso, cada metade do anel tem uma carga distribuída uniformemente. Vamos considerar uma metade com carga e a outra com . A distância do ponto ao elemento de carga é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a componente do campo elétrico perpendicular ao eixo . Devido à simetria, as componentes radiais se cancelam, deixando apenas a componente ao longo de :

Passo 6

Integrando sobre as duas metades do anel:
Assumindo que , obtemos:

Resposta

A componente do campo elétrico perpendicular ao eixo do anel é:

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