Considere um anel de raio a com cargas qi e q2 distribuídas uniformemente em cada uma de suas metades. Mostre que a componente do campo elétrico perpendicular ao eixo do anel é dada por:
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um anel de raio
com duas cargas
e
distribuídas de forma uniforme em cada metade dele. A gente precisa mostrar que a componente do campo elétrico perpendicular ao eixo do anel é dada por:
Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Coulomb e a superposição de campos elétricos de distribuições de carga.
Passo 2
Vamos começar definindo o sistema de coordenadas. Imagine o anel no plano
com seu centro na origem. O eixo do anel será o eixo
. A distância
é a posição ao longo do eixo
onde queremos calcular o campo elétrico.
Passo 3
Sabemos que o campo elétrico devido a uma pequena carga
em um ponto
a uma distância
é dado por:
Onde
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 4
No nosso caso, cada metade do anel tem uma carga distribuída uniformemente. Vamos considerar uma metade com carga
e a outra com
. A distância do ponto
ao elemento de carga é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a componente do campo elétrico perpendicular ao eixo
. Devido à simetria, as componentes radiais se cancelam, deixando apenas a componente ao longo de
:
Passo 6
Integrando sobre as duas metades do anel:
Assumindo que
, obtemos:
Resposta
A componente do campo elétrico perpendicular ao eixo do anel é: