Considere duas placas infinitas, paralelas ao plano e em repouso para um certo referencial . A placa inferior (menor valor de ) tem uma densidade de carga e a superior uma densidade de carga .
Considere agora um referencial que se move com velocidade com relação a . Usando os efeitos da contração espacial e dilatação temporal, determine as densidades de cargas e correntes para observadores em . Em seguida, usando novamente as leis de Gauss e Ampère, determine os campos elétricos e magnéticos em . Compare seu resultado com a lei de transformação dos campos.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos duas placas infinitas e paralelas ao plano no referencial , uma com densidade de carga e a outra com . Queremos analisar o que acontece quando mudamos para outro referencial que está se movendo na direção com velocidade . Precisamos descobrir como as densidades de carga e correntes mudam nesse novo referencial usando contração espacial e dilatação temporal. Depois, com essas novas densidades e correntes, vamos aplicar as leis de Gauss e Ampère para encontrar os campos elétricos () e magnéticos () em . Por fim, vamos comparar esses resultados com as leis de transformação dos campos eletromagnéticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que acontece com as dimensões e o tempo quando mudamos de referencial. Segundo a teoria da relatividade, se o referencial está se movendo com velocidade na direção em relação a , então há uma contração do comprimento na direção do movimento e uma dilatação do tempo. As fórmulas que nos interessam são:
Contração de Lorentz: , onde
Dilatação do Tempo:
Vamos usar essas relações para encontrar como as densidades de carga mudam.
Passo 3
As densidades de carga são definidas como carga por unidade de área. No referencial , as densidades são e . Quando mudamos para , que está se movendo, o comprimento na direção sofre contração. Isso significa que a área das placas no referencial será menor.
A densidade de carga no referencial () será maior porque a área diminui. A relação entre as densidades nos dois referenciais é:
Então, as novas densidades de carga são:
Passo 4
Agora, vamos considerar as correntes elétricas geradas pelo movimento das cargas. Como as placas estão em movimento com velocidade na direção , há uma corrente el��trica. A densidade de corrente é dada por:
Substituindo a densidade de carga que encontramos:
E para a placa com carga :
Passo 5
Com as densidades de carga e as correntes estabelecidas no referencial , vamos aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico . A Lei de Gauss diz que a divergência do campo elétrico é proporcional à densidade de carga:
Considerando placas infinitas, o campo elétrico entre elas será uniforme e perpendicular às placas. Então, para a placa com :
E para a placa com , o campo será na direção oposta.
Passo 6
Agora, vamos usar a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético . A Lei de Ampère relaciona o campo magnético à corrente elétrica:
Como os campos são estáticos em , a segunda parte desaparece. Então temos:
Para as placas infinitas em movimento, isso resulta em um campo magnético paralelo às placas. Usando os valores de encontrados:
Passo 7
Por fim, vamos comparar nossos resultados com as leis de transformação dos campos eletromagnéticos. As transformações para campos que se movem com velocidade na direção são:
Onde . Observamos que nossos campos e nas equações anteriores estão de acordo com essas transformações, confirmando a consistência dos nossos cálculos.
Resposta
As densidades de carga no referencial são e . As densidades de corrente são e . Os campos elétricos e magnéticos no referencial são e . Esses resultados são consistentes com as leis de transformação dos campos eletromagnéticos.