Considere duas placas infinitas, paralelas ao plano
e em repouso para um certo referencial
. A placa inferior (menor valor de
) tem uma densidade de carga
e a superior uma densidade de carga
.
Considere agora um referencial
que se move com velocidade
com relação a
. Usando os efeitos da contração espacial e dilatação temporal, determine as densidades de cargas e correntes para observadores em
. Em seguida, usando novamente as leis de Gauss e Ampère, determine os campos elétricos e magnéticos em
. Compare seu resultado com a lei de transformação dos campos.
Considere agora um referencial
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos duas placas infinitas e paralelas ao plano
no referencial
, uma com densidade de carga
e a outra com
. Queremos analisar o que acontece quando mudamos para outro referencial
que está se movendo na direção
com velocidade
. Precisamos descobrir como as densidades de carga e correntes mudam nesse novo referencial usando contração espacial e dilatação temporal. Depois, com essas novas densidades e correntes, vamos aplicar as leis de Gauss e Ampère para encontrar os campos elétricos (
) e magnéticos (
) em
. Por fim, vamos comparar esses resultados com as leis de transformação dos campos eletromagnéticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que acontece com as dimensões e o tempo quando mudamos de referencial. Segundo a teoria da relatividade, se o referencial
está se movendo com velocidade
na direção
em relação a
, então há uma contração do comprimento na direção do movimento e uma dilatação do tempo. As fórmulas que nos interessam são:
- Contração de Lorentz:
, onde - Dilatação do Tempo:
Vamos usar essas relações para encontrar como as densidades de carga mudam.
Passo 3
As densidades de carga são definidas como carga por unidade de área. No referencial
, as densidades são
e
. Quando mudamos para
, que está se movendo, o comprimento na direção
sofre contração. Isso significa que a área das placas no referencial
será menor.
A densidade de carga no referencial
(
) será maior porque a área diminui. A relação entre as densidades nos dois referenciais é:
Então, as novas densidades de carga são:
Passo 4
Agora, vamos considerar as correntes elétricas geradas pelo movimento das cargas. Como as placas estão em movimento com velocidade
na direção
, há uma corrente el��trica. A densidade de corrente
é dada por:
Substituindo a densidade de carga que encontramos:
E para a placa com carga
:
Passo 5
Com as densidades de carga e as correntes estabelecidas no referencial
, vamos aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico
. A Lei de Gauss diz que a divergência do campo elétrico é proporcional à densidade de carga:
Considerando placas infinitas, o campo elétrico entre elas será uniforme e perpendicular às placas. Então, para a placa com
:
E para a placa com
, o campo será na direção oposta.
Passo 6
Agora, vamos usar a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético
. A Lei de Ampère relaciona o campo magnético à corrente elétrica:
Como os campos são estáticos em
, a segunda parte desaparece. Então temos:
Para as placas infinitas em movimento, isso resulta em um campo magnético paralelo às placas. Usando os valores de
encontrados:
Passo 7
Por fim, vamos comparar nossos resultados com as leis de transformação dos campos eletromagnéticos. As transformações para campos que se movem com velocidade
na direção
são:
Onde
. Observamos que nossos campos
e
nas equações anteriores estão de acordo com essas transformações, confirmando a consistência dos nossos cálculos.
Resposta
As densidades de carga no referencial
são
e
. As densidades de corrente são
e
. Os campos elétricos e magnéticos no referencial
são
e
. Esses resultados são consistentes com as leis de transformação dos campos eletromagnéticos.