Considere duas placas infinitas, paralelas ao plano x0 times z0 e em repouso para um certo referencial S0. A placa inferior (menor valor de y0 ) tem uma densidade de carga sigma0 e a superior uma densidade de carga -sigma0.
Considere agora um referencial S que se move com velocidade v=v x com relação a S0. Usando os efeitos da contração espacial e dilatação temporal, determine as densidades de cargas e correntes para observadores em S. Em seguida, usando novamente as leis de Gauss e Ampère, determine os campos elétricos e magnéticos em S. Compare seu resultado com a lei de transformação dos campos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos duas placas infinitas e paralelas ao plano no referencial , uma com densidade de carga e a outra com . Queremos analisar o que acontece quando mudamos para outro referencial que está se movendo na direção com velocidade . Precisamos descobrir como as densidades de carga e correntes mudam nesse novo referencial usando contração espacial e dilatação temporal. Depois, com essas novas densidades e correntes, vamos aplicar as leis de Gauss e Ampère para encontrar os campos elétricos ( ) e magnéticos ( ) em . Por fim, vamos comparar esses resultados com as leis de transformação dos campos eletromagnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que acontece com as dimensões e o tempo quando mudamos de referencial. Segundo a teoria da relatividade, se o referencial está se movendo com velocidade na direção em relação a , então há uma contração do comprimento na direção do movimento e uma dilatação do tempo. As fórmulas que nos interessam são:
  • Contração de Lorentz: , onde
  • Dilatação do Tempo:
Vamos usar essas relações para encontrar como as densidades de carga mudam.

Passo 3

As densidades de carga são definidas como carga por unidade de área. No referencial sigma = sigma0raiz1 - beta^2 , as densidades são sigma = sigma0raiz1 - beta^2 e -sigma = -sigma0raiz1 - beta^2 e . Quando mudamos para , que está se movendo, o comprimento na direção sofre contração. Isso significa que a área das placas no referencial será menor.
A densidade de carga no referencial ( ) será maior porque a área diminui. A relação entre as densidades nos dois referenciais é:
Então, as novas densidades de carga são:

Passo 4

Agora, vamos considerar as correntes elétricas geradas pelo movimento das cargas. Como as placas estão em movimento com velocidade J = sigma v na direção J = sigma0raiz1 - beta^2 v x , há uma corrente el��trica. A densidade de corrente J = -sigma0raiz1 - beta^2 v x é dada por:
Substituindo a densidade de carga que encontramos:
E para a placa com carga :

Passo 5

Com as densidades de carga e as correntes estabelecidas no referencial nabla cdot E = rhovarepsilon0 , vamos aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico E = sigma2varepsilon0 = sigma02varepsilon0 raiz1 - beta^2 . A Lei de Gauss diz que a divergência do campo elétrico é proporcional à densidade de carga:
Considerando placas infinitas, o campo elétrico entre elas será uniforme e perpendicular às placas. Então, para a placa com :
E para a placa com , o campo será na direção oposta.

Passo 6

Agora, vamos usar a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético nabla times B = mu0 J + mu0varepsilon0 partial Epartial t . A Lei de Ampère relaciona o campo magnético à corrente elétrica:
nabla times B = mu0 J
Como os campos são estáticos em B = mu0 sigma v = mu0 sigma0 vraiz1 - beta^2 , a segunda parte desaparece. Então temos:
Para as placas infinitas em movimento, isso resulta em um campo magnético paralelo às placas. Usando os valores de encontrados:

Passo 7

Por fim, vamos comparar nossos resultados com as leis de transformação dos campos eletromagnéticos. As transformações para campos que se movem com velocidade E'y = gamma ( Ey ) na direção B'z = gamma ( Bz - vc^2 Ey ) são:
Onde . Observamos que nossos campos e nas equações anteriores estão de acordo com essas transformações, confirmando a consistência dos nossos cálculos.

Resposta

As densidades de carga no referencial são e . As densidades de corrente são e . Os campos elétricos e magnéticos no referencial são e . Esses resultados são consistentes com as leis de transformação dos campos eletromagnéticos.

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