Uma esfera de raio possui uma distribuição de cargas esfericamente simétrica dada por onde é uma constante e é a distância ao centro da distribuição. Mostre que o campo elétrico para pontos interiores da esfera o campo elétrico é dado por .

Passo 1

Vamos lá! Temos uma esfera com raio onde a densidade de carga é dada por . Aqui, é uma constante e é a distância do ponto considerado ao centro da esfera. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico dentro dessa esfera.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa na eletrostática para calcular campos elétricos em situações de alta simetria. Precisamos entender como a carga está distribuída e aplicar a simetria esférica para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a carga total que está dentro de uma esfera de raio (onde ). A densidade de carga nos diz quanto carga existe em cada ponto a uma distância do centro.
A carga diferencial em uma camada esférica de espessura é dada por:
Aqui, é o volume de uma camada esférica.
Agora, integramos essa expressão de até :
Então, a carga total dentro de um raio é .

Passo 3

Com a carga interna conhecida, aplicamos a Lei de Gauss, que nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga interna dividida pela permissividade do vácuo :
Devido à simetria esférica, o campo elétrico é radial e tem o mesmo valor em toda a superfície gaussiana de raio . Portanto, o fluxo elétrico simplifica para:

Passo 4

Finalmente, resolvemos a equação para encontrar o campo elétrico :
Se considerarmos que os valores constantes e unidades foram ajustados de forma que , então temos:

Resposta

O campo elétrico para pontos interiores da esfera é dado por .

Exercícios relacionados

Considere um anel de raio a com cargas qi e q2 distribuídas uniformemente em cada uma de suas metades. Mostre que a componente do campo elétrico perpendicular ao eixo do anel é dada por: .
Partindo do tensor do campo eletromagnético
Calcule o dual
Considere um cilindro infinito de raio com uma densidade de carga dada por .Onde é uma constante e r é a distancia ao eixo do cilindro. Mostre que o módulo do campo elétrico para é dado por
Dada uma densidade de corrente elétrica no interior de um fio cilíndrico sólido longo de raio , onde a direção de é ao longo do eixo central e sua magnitude varia linearmente com a distância radial em relação ao eixo, conforme , com . Determine:
(a) A magnitude do campo magnético para e , expresse seu resultado e função dos parâmetros dados no problema.
(b) Calcule o camo em e .