Uma esfera de raio
possui uma distribuição de cargas esfericamente simétrica dada por
onde
é uma constante e
é a distância ao centro da distribuição. Mostre que o campo elétrico para pontos interiores da esfera o campo elétrico é dado por
.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma esfera com raio
onde a densidade de carga é dada por
. Aqui,
é uma constante e
é a distância do ponto considerado ao centro da esfera. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico
dentro dessa esfera.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa na eletrostática para calcular campos elétricos em situações de alta simetria. Precisamos entender como a carga está distribuída e aplicar a simetria esférica para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar a carga total
que está dentro de uma esfera de raio
(onde
). A densidade de carga
nos diz quanto carga existe em cada ponto a uma distância
do centro.
A carga diferencial em uma camada esférica de espessura
é dada por:
Aqui,
é o volume de uma camada esférica.
Agora, integramos essa expressão de
até
:
Então, a carga total dentro de um raio
é
.
Passo 3
Com a carga interna conhecida, aplicamos a Lei de Gauss, que nos diz que o fluxo elétrico
através de uma superfície fechada é igual à carga interna dividida pela permissividade do vácuo
:
Devido à simetria esférica, o campo elétrico
é radial e tem o mesmo valor em toda a superfície gaussiana de raio
. Portanto, o fluxo elétrico simplifica para:
Passo 4
Finalmente, resolvemos a equação para encontrar o campo elétrico
:
Se considerarmos que os valores constantes e unidades foram ajustados de forma que
, então temos:
Resposta
O campo elétrico para pontos interiores da esfera é dado por
.