Uma esfera de raio R possui uma distribuição de cargas esfericamente simétrica dada por p=B r onde B é uma constante e r é a distância ao centro da distribuição. Mostre que o campo elétrico para pontos interiores da esfera o campo elétrico é dado por E-Br 2 /(480).

Passo 1

Vamos lá! Temos uma esfera com raio onde a densidade de carga é dada por . Aqui, é uma constante e é a distância do ponto considerado ao centro da esfera. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico dentro dessa esfera.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa na eletrostática para calcular campos elétricos em situações de alta simetria. Precisamos entender como a carga está distribuída e aplicar a simetria esférica para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a carga total dq = p cdot dV = B cdot r cdot 4pi r^2 dr = 4pi B r^3 dr que está dentro de uma esfera de raio qinterno = integral0^r 4pi B r'^3 dr' = pi B r^4 (onde ). A densidade de carga nos diz quanto carga existe em cada ponto a uma distância do centro.
A carga diferencial em uma camada esférica de espessura é dada por:
Aqui, é o volume de uma camada esférica.
Agora, integramos essa expressão de até :
Então, a carga total dentro de um raio é .

Passo 3

Com a carga interna conhecida, aplicamos a Lei de Gauss, que nos diz que o fluxo elétrico oint E cdot dA = qinternoepsilon0 através de uma superfície fechada é igual à carga interna dividida pela permissividade do vácuo E cdot 4pi r^2 = pi B r^4epsilon0 :
Devido à simetria esférica, o campo elétrico é radial e tem o mesmo valor em toda a superfície gaussiana de raio . Portanto, o fluxo elétrico simplifica para:

Passo 4

Finalmente, resolvemos a equação para encontrar o campo elétrico E = pi B r^44pi r^2 epsilon0 = B r^24 epsilon0 :
E = B r^2480
Se considerarmos que os valores constantes e unidades foram ajustados de forma que , então temos:

Resposta

O campo elétrico para pontos interiores da esfera é dado por .

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