Uma esfera de raio possui uma distribuição de cargas esfericamente simétrica dada por onde é uma constante e é a distância ao centro da distribuição. Mostre que o campo elétrico para pontos interiores da esfera o campo elétrico é dado por .
Passo 1
Vamos lá! Temos uma esfera com raio onde a densidade de carga é dada por . Aqui, é uma constante e é a distância do ponto considerado ao centro da esfera. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico dentro dessa esfera.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa na eletrostática para calcular campos elétricos em situações de alta simetria. Precisamos entender como a carga está distribuída e aplicar a simetria esférica para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar a carga total que está dentro de uma esfera de raio (onde ). A densidade de carga nos diz quanto carga existe em cada ponto a uma distância do centro.
A carga diferencial em uma camada esférica de espessura é dada por:
Aqui, é o volume de uma camada esférica.
Agora, integramos essa expressão de até :
Então, a carga total dentro de um raio é .
Passo 3
Com a carga interna conhecida, aplicamos a Lei de Gauss, que nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga interna dividida pela permissividade do vácuo :
Devido à simetria esférica, o campo elétrico é radial e tem o mesmo valor em toda a superfície gaussiana de raio . Portanto, o fluxo elétrico simplifica para:
Passo 4
Finalmente, resolvemos a equação para encontrar o campo elétrico :
Se considerarmos que os valores constantes e unidades foram ajustados de forma que , então temos:
Resposta
O campo elétrico para pontos interiores da esfera é dado por .