Considere um cilindro infinito de raio
com uma densidade de carga dada por
.Onde
é uma constante e r é a distancia ao eixo do cilindro. Mostre que o módulo do campo elétrico para
é dado por
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que fala sobre um cilindro infinito com raio
e uma densidade de carga que varia conforme a distância ao eixo do cilindro, dada por
. O objetivo é mostrar que o módulo do campo elétrico para uma distância
do eixo é
. Vamos usar o conteúdo de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos ajuda a calcular campos elétricos em situações com simetria, como cilindros, esferas ou planos infinitos. A ideia é escolher uma superfície gaussiana adequada onde o fluxo elétrico possa ser facilmente calculado.
Passo 3
Como estamos lidando com um cilindro infinito, a simetria cilíndrica é perfeita para aplicar a Lei de Gauss. Vamos imaginar uma superfície gaussiana que é um cilindro concêntrico com o cilindro de carga, com raio
e comprimento
.
Passo 4
A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através da superfície gaussiana é igual à carga total dentro dela dividida por
:
Como o campo elétrico
é radial e tem o mesmo valor em toda a superfície lateral do cilindro gaussiano, o cálculo fica mais simples.
Passo 5
Vamos calcular o fluxo elétrico. A contribuição das extremidades do cilindro gaussiano é zero porque o campo elétrico é paralelo a essas superfícies. Portanto, apenas a superfície lateral contribui:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a carga total dentro do cilindro gaussiano. A densidade de carga é
. A carga infinitesimal em uma área ao longo do raio é
. Para encontrar a carga total, integramos de 0 a
:
Passo 7
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Resposta
O módulo do campo elétrico para
é dado por
.
Exercícios relacionados
Uma esfera de raio
possui uma distribuição de cargas esfericamente simétrica dada por
onde
é uma constante e
é a distância ao centro da distribuição. Mostre que o campo elétrico para pontos interiores da esfera o campo elétrico é dado por
.
Considere um anel de raio a com cargas qi e q2 distribuídas uniformemente em cada uma de suas metades. Mostre que a componente do campo elétrico perpendicular ao eixo do anel é dada por:
.
Dada uma densidade de corrente elétrica
no interior de um fio cilíndrico sólido longo de raio
, onde a direção de
é ao longo do eixo central e sua magnitude varia linearmente com a distância radial
em relação ao eixo, conforme
, com
. Determine:
(a) A magnitude do campo magnético para e
, expresse seu resultado e função dos parâmetros dados no problema.
(b) Calcule o camo em e
.
(a) A magnitude do campo magnético para
(b) Calcule o camo em
Considere um observador para o qual duas cargas iguais se movem paralelamente (i.e., uma do lado da outra com a mesma velocidade).
Como ficam as forças entre as cargas quando vistas por esse observador e por outro que segue as cargas?
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