Considere um cilindro infinito de raio R com uma densidade de carga dada por p=A r^2.Onde A é uma constante e r é a distancia ao eixo do cilindro. Mostre que o módulo do campo elétrico para r é dado por E=AR /(4 e 0)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre um cilindro infinito com raio e uma densidade de carga que varia conforme a distância ao eixo do cilindro, dada por . O objetivo é mostrar que o módulo do campo elétrico para uma distância do eixo é . Vamos usar o conteúdo de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos ajuda a calcular campos elétricos em situações com simetria, como cilindros, esferas ou planos infinitos. A ideia é escolher uma superfície gaussiana adequada onde o fluxo elétrico possa ser facilmente calculado.

Passo 3

Como estamos lidando com um cilindro infinito, a simetria cilíndrica é perfeita para aplicar a Lei de Gauss. Vamos imaginar uma superfície gaussiana que é um cilindro concêntrico com o cilindro de carga, com raio e comprimento .

Passo 4

A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através da superfície gaussiana é igual à carga total dentro dela dividida por PhiE = oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0 :
Como o campo elétrico é radial e tem o mesmo valor em toda a superfície lateral do cilindro gaussiano, o cálculo fica mais simples.

Passo 5

Vamos calcular o fluxo elétrico. A contribuição das extremidades do cilindro gaussiano é zero porque o campo elétrico é paralelo a essas superfícies. Portanto, apenas a superfície lateral contribui:
PhiE = E cdot (2 pi r L)

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a carga total dentro do cilindro gaussiano. A densidade de carga é Qinterno = integral0^r A r'^2 cdot 2 pi r' L dr' = 2 pi A L integral0^r r'^3 dr' = 2 pi A L [ r'^44 ]0^r = pi A L r^42 . A carga infinitesimal em uma área ao longo do raio é . Para encontrar a carga total, integramos de 0 a :

Passo 7

Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot (2 pi r L) = pi A L r^42 varepsilon0
Simplificando:
E = A r^34 varepsilon0

Resposta

O módulo do campo elétrico para é dado por .

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