G^mu nu=12 varepsilon^mu nu alpha beta Falpha beta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o tensor dual a partir do tensor do campo eletromagnético . Estamos trabalhando com a matéria de Eletromagnetismo na Relatividade Especial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o tensor dual, usar o símbolo de Levi-Civita e fazer algumas multiplicações de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o tensor dual. O tensor dual G^mu nu = 12 varepsilon^mu nu alpha beta Falpha beta é definido por:
Aqui, é o símbolo de Levi-Civita, que é uma constante totalmente anti-simétrica usada para alternar índices em tensores.
Passo 3
Vamos identificar os componentes do tensor . Dado o tensor no enunciado, precisamos elevar os índices para obter . Porém, como estamos em métricas de espaço-tempo planares, a forma de vai ser semelhante à de .
Passo 4
Agora, precisamos calcular . Isso significa que para cada par de índices , vamos somar todas as combinações de multiplicadas pelo símbolo de Levi-Civita.
Passo 5
Vamos calcular cada componente de G^01 = 12 varepsilon^0123 F23 + 12 varepsilon^0132 F32 + dots individualmente. Por exemplo, para :
Como e , podemos simplificar.
Passo 6
Fazendo isso para todos os componentes, percebemos que os componentes elétricos e magnéticos se trocam de lugar no tensor dual. Especificamente:
As componentes relacionadas ao campo elétrico no tensor original passam a se relacionar com as componentes magnéticas no tensor dual , e vice-versa.