Partindo do tensor do campo eletromagnético
Calcule o dual

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o tensor dual a partir do tensor do campo eletromagnético . Estamos trabalhando com a matéria de Eletromagnetismo na Relatividade Especial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o tensor dual, usar o símbolo de Levi-Civita e fazer algumas multiplicações de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o tensor dual. O tensor dual é definido por:
Aqui, é o símbolo de Levi-Civita, que é uma constante totalmente anti-simétrica usada para alternar índices em tensores.

Passo 3

Vamos identificar os componentes do tensor . Dado o tensor no enunciado, precisamos elevar os índices para obter . Porém, como estamos em métricas de espaço-tempo planares, a forma de vai ser semelhante à de .

Passo 4

Agora, precisamos calcular . Isso significa que para cada par de índices , vamos somar todas as combinações de multiplicadas pelo símbolo de Levi-Civita.

Passo 5

Vamos calcular cada componente de individualmente. Por exemplo, para :
Como e , podemos simplificar.

Passo 6

Fazendo isso para todos os componentes, percebemos que os componentes elétricos e magnéticos se trocam de lugar no tensor dual. Especificamente:
  • As componentes relacionadas ao campo elétrico no tensor original passam a se relacionar com as componentes magnéticas no tensor dual , e vice-versa.

Passo 7

Montando a matriz do tensor dual , temos:

Resposta

O tensor dual calculado é:

Exercícios relacionados

Considere duas placas infinitas, paralelas ao plano e em repouso para um certo referencial . A placa inferior (menor valor de ) tem uma densidade de carga e a superior uma densidade de carga .
Considere agora um referencial que se move com velocidade com relação a . Usando os efeitos da contração espacial e dilatação temporal, determine as densidades de cargas e correntes para observadores em . Em seguida, usando novamente as leis de Gauss e Ampère, determine os campos elétricos e magnéticos em . Compare seu resultado com a lei de transformação dos campos.
Considere um observador para o qual duas cargas iguais se movem paralelamente (i.e., uma do lado da outra com a mesma velocidade).
Considerando a visão de cada um dos observadores, as cargas irão se afastar, ou se aproximar?
Considere um anel de raio a com cargas qi e q2 distribuídas uniformemente em cada uma de suas metades. Mostre que a componente do campo elétrico perpendicular ao eixo do anel é dada por: .
Uma esfera de raio possui uma distribuição de cargas esfericamente simétrica dada por onde é uma constante e é a distância ao centro da distribuição. Mostre que o campo elétrico para pontos interiores da esfera o campo elétrico é dado por .