Partindo do tensor do campo eletromagnético
F^mu nu=(cccc 0 & E1c & E2c & E3c -E1c & 0 & B3 & -B2 -E2c3 & -B3 & 0 & B1 -E3c & B2 & -B1 & 0 )
Calcule o dual
G^mu nu=12 varepsilon^mu nu alpha beta Falpha beta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o tensor dual a partir do tensor do campo eletromagnético . Estamos trabalhando com a matéria de Eletromagnetismo na Relatividade Especial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o tensor dual, usar o símbolo de Levi-Civita e fazer algumas multiplicações de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o tensor dual. O tensor dual G^mu nu = 12 varepsilon^mu nu alpha beta Falpha beta é definido por:
Aqui, é o símbolo de Levi-Civita, que é uma constante totalmente anti-simétrica usada para alternar índices em tensores.

Passo 3

Vamos identificar os componentes do tensor . Dado o tensor no enunciado, precisamos elevar os índices para obter . Porém, como estamos em métricas de espaço-tempo planares, a forma de vai ser semelhante à de .

Passo 4

Agora, precisamos calcular . Isso significa que para cada par de índices , vamos somar todas as combinações de multiplicadas pelo símbolo de Levi-Civita.

Passo 5

Vamos calcular cada componente de G^01 = 12 varepsilon^0123 F23 + 12 varepsilon^0132 F32 + dots individualmente. Por exemplo, para :
Como e , podemos simplificar.

Passo 6

Fazendo isso para todos os componentes, percebemos que os componentes elétricos e magnéticos se trocam de lugar no tensor dual. Especificamente:
  • As componentes relacionadas ao campo elétrico no tensor original passam a se relacionar com as componentes magnéticas no tensor dual , e vice-versa.

Passo 7

Montando a matriz do tensor dual G^mu nu = (cccc 0 & B1c & B2c & B3c -B1c & 0 & -E3 & E2 -B2c & E3 & 0 & -E1 -B3c & -E2 & E1 & 0 ) , temos:

Resposta

O tensor dual G^mu nu = (cccc 0 & B1c & B2c & B3c -B1c & 0 & -E3 & E2 -B2c & E3 & 0 & -E1 -B3c & -E2 & E1 & 0 ) calculado é:

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