Considere um anel de raio a carregado com uma carga total q. Se o eixo do anel coincidir com eixo x, a única componente não nula do campo elétrico é
Ex=q4 pi epsilon0 x(x^2+a^2)^3 / 2
Integre o campo elétrico para obter o potencial nos pontos do eixo do anel. Suponha que o potencial é zero no infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um anel carregado com carga total Ex = q4 pi epsilon0 x(x^2+a^2)^3 / 2 e raio V = - integral E , dx . Queremos encontrar o potencial elétrico nos pontos ao longo do eixo desse anel. Para isso, vamos usar o campo elétrico fornecido:
O conteúdo que vamos precisar aqui é o conceito de integração do campo elétrico para obter o potencial elétrico. Lembrando que o potencial elétrico está relacionado ao campo elétrico pela relação:
E vamos supor que o potencial é zero no infinito ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão do campo elétrico para facilitar a integração:
Ex = q4 pi epsilon0 cdot x(x^2 + a^2)^3/2
Precisamos integrar V(x) = - integralinfty^x Ex , dx em relação a para encontrar o potencial . A fórmula que vamos usar é:
Aqui, estamos integrando de até porque o potencial é zero no infinito.

Passo 3

Vamos fazer a substituição para facilitar a integral. Vamos definir:
u = x^2 + a^2 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx
Isso simplifica nossa integral. Então, substituindo na expressão:
V(x) = - integralinfty^x q4 pi epsilon0 cdot x(x^2 + a^2)^3/2 , dx = - q4 pi epsilon0 cdot 12 integralinfty^x u^-3/2 , du

Passo 4

Agora, vamos integrar integral u^-3/2 , du = -2 u^-1/2 + C :
V(x) = - q4 pi epsilon0 cdot 12 [ -2 u^-1/2 ]infty^x = q4 pi epsilon0 cdot [ u^-1/2 ]infty^x
Aplicando os limites de integração:

Passo 5

Substituindo V(x) = q4 pi epsilon0 ( 1raizx^2 + a^2 - 1raizinfty ) de volta:
V(x) = q4 pi epsilon0 cdot 1raizx^2 + a^2
Como , simplificamos para:

Resposta

O potencial elétrico nos pontos do eixo do anel é dado por:
V(x) = q4 pi epsilon0 raizx^2 + a^2

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