Considere um anel de raio carregado com uma carga total . Se o eixo do anel coincidir com eixo , a única componente não nula do campo elétrico é
Integre o campo elétrico para obter o potencial nos pontos do eixo do anel. Suponha que o potencial é zero no infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um anel carregado com carga total e raio . Queremos encontrar o potencial elétrico nos pontos ao longo do eixo desse anel. Para isso, vamos usar o campo elétrico fornecido:
O conteúdo que vamos precisar aqui é o conceito de integração do campo elétrico para obter o potencial elétrico. Lembrando que o potencial elétrico está relacionado ao campo elétrico pela relação:
E vamos supor que o potencial é zero no infinito ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão do campo elétrico para facilitar a integração:
Precisamos integrar em relação a para encontrar o potencial . A fórmula que vamos usar é:
Aqui, estamos integrando de até porque o potencial é zero no infinito.

Passo 3

Vamos fazer a substituição para facilitar a integral. Vamos definir:
Isso simplifica nossa integral. Então, substituindo na expressão:

Passo 4

Agora, vamos integrar :
Aplicando os limites de integração:

Passo 5

Substituindo de volta:
Como , simplificamos para:

Resposta

O potencial elétrico nos pontos do eixo do anel é dado por:

Exercícios relacionados

Quatro segmentos de fio de comprimento formam um quadrado de lado . Considerando que no infinito, calcule o potencial elétrico no centro do quadrado nos seguintes casos: (a) os quatro fios possuem carga ; (b) dois fios possuem carga e os outros dois possuem carga . No caso (b), a resposta depende de quais são os fios de carga positiva e quais são os fios de carga negativa? Sugestão: use o resultado para o potencial de um fio feito nas notas de aula.
Duplas cargas puntiformes, e , estão separadas por uma distância igual a . O ponto está localizado sobre a reta que passa pelas duas cargas, na metade da distância entre elas. O ponto está a uma distância igual a 0,800 m da carga e a da carga . Considerando o pontencial a uma distância infinita das cargas igual a zero, calcule: (a) o potencial no ponto ; (b) o potencial no ponto ; © o trabalho realizado pela força elétrica quando uma carga igual a se desloca do ponto até o ponto .
Duplas cargas puntiformes positivas, iguais a , são fixadas sobre o eixo nas posições e . (a) Considerando que o pontencial a uma distância infinita das cargas é igual a zero, mostre que o potencial em qualquer ponto do eixo é dado por
(b) Determine o potencial para . Interprete o resultado. © Faça um gráfico do potencial em função de .
Um disco uniformemente carregado possui raio igual a e carga igual a 4,0 pC. (a) Obtenha o módulo do campo elétrico sobre o eixo do disco a uma distância igual a do seu centro. (b) Calcule o módulo do campo elétrico a uma distância igual a de um plano infinito que possui a mesma densidade superficial de carga e compare com o campo do disco. Por que o valor calculado em (a) é menor?