Um disco uniformemente carregado possui raio igual a
e carga igual a 4,0 pC. (a) Obtenha o módulo do campo elétrico sobre o eixo do disco a uma distância igual a
do seu centro. (b) Calcule o módulo do campo elétrico a uma distância igual a
de um plano infinito que possui a mesma densidade superficial de carga e compare com o campo do disco. Por que o valor calculado em (a) é menor?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco uniformemente carregado com raio de
e carga total de
. Precisamos calcular o campo elétrico em dois cenários:
a) No eixo do disco, a
do centro.
b) A de um plano infinito com a mesma densidade superficial de carga.
b) A
Vamos precisar de conceitos de eletrostática, especificamente sobre o campo elétrico de distribuições de carga contínua, como discos e planos infinitos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico no eixo do disco a uma distância
do centro. Para isso, usamos a fórmula do campo elétrico ao longo do eixo de um disco carregado uniformemente:
Onde:
-
é a densidade superficial de carga. -
é a permissividade do vácuo ( ). -
é o raio do disco. -
é a distância do ponto ao centro do disco ao longo do eixo.
Passo 3
Primeiro, precisamos calcular a densidade superficial de carga
. Ela é dada por:
Onde:
Calculando
:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores na fórmula do campo elétrico do disco:
Aqui:
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
Primeiro, a constante:
Agora, a parte dentro do parênteses:
Então:
Passo 6
Multiplicando os dois valores:
Passo 7
Agora, para a parte (b), vamos calcular o campo elétrico a
de um plano infinito com a mesma densidade superficial de carga. A fórmula para o campo de um plano infinito é:
Usando
e
:
Passo 8
Comparando os dois campos:
O campo do disco é menor que o do plano infinito.
Resposta
a) O módulo do campo elétrico sobre o eixo do disco a
do centro é aproximadamente
.
b) O campo elétrico a
de um plano infinito com a mesma densidade superficial de carga é aproximadamente
. O campo do disco é menor porque, sendo de raio finito, as contribuições das partes mais afastadas do disco diminuem o campo total, enquanto o plano infinito tem extensão infinita, mantendo o campo constante.