Um disco uniformemente carregado possui raio igual a e carga igual a 4,0 pC. (a) Obtenha o módulo do campo elétrico sobre o eixo do disco a uma distância igual a do seu centro. (b) Calcule o módulo do campo elétrico a uma distância igual a de um plano infinito que possui a mesma densidade superficial de carga e compare com o campo do disco. Por que o valor calculado em (a) é menor?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco uniformemente carregado com raio de e carga total de . Precisamos calcular o campo elétrico em dois cenários:
a) No eixo do disco, a do centro.
b) A de um plano infinito com a mesma densidade superficial de carga.
Vamos precisar de conceitos de eletrostática, especificamente sobre o campo elétrico de distribuições de carga contínua, como discos e planos infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico no eixo do disco a uma distância do centro. Para isso, usamos a fórmula do campo elétrico ao longo do eixo de um disco carregado uniformemente:
Onde:
  • é a densidade superficial de carga.
  • é a permissividade do vácuo ( ).
  • é o raio do disco.
  • é a distância do ponto ao centro do disco ao longo do eixo.

Passo 3

Primeiro, precisamos calcular a densidade superficial de carga . Ela é dada por:
Onde:
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores na fórmula do campo elétrico do disco:
Aqui:

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
Primeiro, a constante:
Agora, a parte dentro do parênteses:
Então:

Passo 6

Multiplicando os dois valores:

Passo 7

Agora, para a parte (b), vamos calcular o campo elétrico a de um plano infinito com a mesma densidade superficial de carga. A fórmula para o campo de um plano infinito é:
Usando e :

Passo 8

Comparando os dois campos:
O campo do disco é menor que o do plano infinito.

Resposta

a) O módulo do campo elétrico sobre o eixo do disco a do centro é aproximadamente .
b) O campo elétrico a de um plano infinito com a mesma densidade superficial de carga é aproximadamente . O campo do disco é menor porque, sendo de raio finito, as contribuições das partes mais afastadas do disco diminuem o campo total, enquanto o plano infinito tem extensão infinita, mantendo o campo constante.

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