Um disco uniformemente carregado possui raio igual a 2,50 cm e carga igual a 4,0 pC. (a) Obtenha o módulo do campo elétrico sobre o eixo do disco a uma distância igual a 0,20 cm do seu centro. (b) Calcule o módulo do campo elétrico a uma distância igual a 0,20 cm de um plano infinito que possui a mesma densidade superficial de carga e compare com o campo do disco. Por que o valor calculado em (a) é menor?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco uniformemente carregado com raio de e carga total de . Precisamos calcular o campo elétrico em dois cenários:
a) No eixo do disco, a do centro.
b) A de um plano infinito com a mesma densidade superficial de carga.
Vamos precisar de conceitos de eletrostática, especificamente sobre o campo elétrico de distribuições de carga contínua, como discos e planos infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico no eixo do disco a uma distância Edisco(z) = sigma2varepsilon0 (1 - zraizz^2 + R^2) do centro. Para isso, usamos a fórmula do campo elétrico ao longo do eixo de um disco carregado uniformemente:
Onde:
  • é a densidade superficial de carga.
  • é a permissividade do vácuo ( ).
  • é o raio do disco.
  • é a distância do ponto ao centro do disco ao longo do eixo.

Passo 3

Primeiro, precisamos calcular a densidade superficial de carga sigma = Qpi R^2 . Ela é dada por:
sigma = 4,0 times 10^-12pi (0,025)^2 approx 4,0 times 10^-121,9635 times 10^-3 approx 2,04 times 10^-9 , C/m^2
Onde:
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores na fórmula do campo elétrico do disco:
Edisco(z) = 2,04 times 10^-92 times 8,85 times 10^-12 (1 - 0,002raiz0,002^2 + 0,025^2)
Aqui:

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
Primeiro, a constante:
2,04 times 10^-92 times 8,85 times 10^-12 = 2,04 times 10^-91,77 times 10^-11 approx 115,25 , N/C
Agora, a parte dentro do parênteses:
raiz0,002^2 + 0,025^2 = raiz4 times 10^-6 + 6,25 times 10^-4 = raiz6,29 times 10^-4 approx 0,0251 , m
Então:
1 - 0,0020,0251 approx 1 - 0,0797 = 0,9203

Passo 6

Multiplicando os dois valores:
Edisco = 115,25 times 0,9203 approx 106,0 , N/C

Passo 7

Agora, para a parte (b), vamos calcular o campo elétrico a Eplano = sigma2varepsilon0 de um plano infinito com a mesma densidade superficial de carga. A fórmula para o campo de um plano infinito é:
Eplano = 2,04 times 10^-92 times 8,85 times 10^-12 approx 2,04 times 10^-91,77 times 10^-11 approx 115,25 , N/C
Usando e :

Passo 8

Comparando os dois campos:
Edisco approx 106,0 , N/C
Eplano approx 115,25 , N/C
O campo do disco é menor que o do plano infinito.

Resposta

a) O módulo do campo elétrico sobre o eixo do disco a do centro é aproximadamente .
b) O campo elétrico a de um plano infinito com a mesma densidade superficial de carga é aproximadamente . O campo do disco é menor porque, sendo de raio finito, as contribuições das partes mais afastadas do disco diminuem o campo total, enquanto o plano infinito tem extensão infinita, mantendo o campo constante.

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