Quatro segmentos de fio de comprimento a formam um quadrado de lado a. Considerando que V=0 no infinito, calcule o potencial elétrico no centro do quadrado nos seguintes casos: (a) os quatro fios possuem carga +q; (b) dois fios possuem carga +q e os outros dois possuem carga -q. No caso (b), a resposta depende de quais são os fios de carga positiva e quais são os fios de carga negativa? Sugestão: use o resultado para o potencial de um fio feito nas notas de aula.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre eletrostática. Imagina um quadrado formado por quatro fios, cada um com comprimento a. A gente precisa calcular o potencial elétrico no centro desse quadrado em dois casos diferentes: (a) quando todos os fios têm carga +q; e (b) quando dois fios têm carga +q e os outros dois têm carga -q. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do potencial elétrico gerado por um fio carregado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do potencial elétrico V devido a um fio infinitamente longo com densidade de carga linear lambda. A fórmula é:
V = lambda2piepsilon0 ln(rr0)
onde r é a distância do ponto onde estamos calculando o potencial até o fio, e r0 é uma referência, que nesse caso será o infinito, onde definimos V=0.

Passo 3

No nosso caso, os fios têm comprimento finito, mas como estamos calculando o potencial no centro do quadrado, podemos considerar que r0 é a distância do centro até o fio. A distância do centro de um quadrado de lado a até um dos lados é a2. Assim, a diferença de potencial devido a um fio ��:
Vfio = lambda2piepsilon0 ln(a/2infty)
Como ln(a/2infty) = -infty, precisamos repensar isso. Na verdade, em um fio com carga finita, a expressão do potencial é um pouco diferente, mas para simplificar, vamos considerar que o potencial devido a cada fio no centro é proporcional à sua carga e inversamente proporcional à distância.

Passo 4

Vamos então considerar que o potencial total no centro é a soma dos potenciais individuais de cada fio. No caso (a), todos os quatro fios têm carga +q, então o potencial total será:
Vtotal = 4 times Vfio
Como todos os potenciais são positivos, eles se somam.

Passo 5

No caso (b), dois fios têm carga +q e dois têm carga -q. O potencial total será:
Vtotal = 2 times Vfio - 2 times Vfio = 0
Isso porque os potenciais de cargas positivas e negativas se cancelam.

Passo 6

Agora, quanto à dependência da configuração das cargas positivas e negativas no caso (b), se os fios positivos estão em posições opostas aos negativos, o potencial se cancela perfeitamente. Se não estiverem, o cancelamento pode não ser completo, mas no centro do quadrado, devido à simetria, ainda assim o potencial tende a zero.

Resposta

(a) O potencial elétrico no centro do quadrado é Vtotal = 4 times q2piepsilon0 a.
(b) O potencial elétrico no centro do quadrado é Vtotal = 0. Além disso, no caso (b), a resposta não depende de quais fios são positivos ou negativos devido à simetria do quadrado.

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