Duplas cargas puntiformes positivas, iguais a , são fixadas sobre o eixo nas posições e . (a) Considerando que o pontencial a uma distância infinita das cargas é igual a zero, mostre que o potencial em qualquer ponto do eixo é dado por
(b) Determine o potencial para . Interprete o resultado. © Faça um gráfico do potencial em função de .

Passo 1

Então, a gente tem duas cargas positivas iguais a posicionadas no eixo em e . A questão pede para a gente encontrar o potencial elétrico em pontos do eixo , usar algumas fórmulas de eletrostática, e até fazer um gráfico. Vamos precisar entender como calcular o potencial de cargas pontuais e usar um pouco de aproximação para valores grandes de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico de uma carga pontual em uma distância é dado por:
Aqui, é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Como temos duas cargas, o potencial total no ponto de interesse é a soma dos potenciais criados por cada uma das cargas. Vamos considerar um ponto qualquer no eixo , com coordenadas .

Passo 4

A distância de cada carga ao ponto é . Então, o potencial devido a uma carga é:
E como temos duas cargas iguais, o potencial total será:

Passo 5

Então, mostramos que o potencial no eixo é:

Passo 6

Agora, para a parte (b), queremos determinar o potencial quando . Isso significa que é muito maior que , então . Assim, o potencial fica aproximadamente:
Isso mostra que, para distâncias muito grandes, o sistema de duas cargas se comporta como se fosse uma única carga com carga total , já que:
O resultado indica que, a grandes distâncias, o efeito das duas cargas se soma de forma simplificada.

Passo 7

Por fim, para a parte ©, o gráfico do potencial em função de terá a forma de uma curva que começa alta próximo a e decresce conforme aumenta, se aproximando da forma de para . Basicamente, o potencial diminui à medida que nos afastamos das cargas no eixo .

Resposta

O potencial no eixo é dado por

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