Duplas cargas puntiformes positivas, iguais a q, são fixadas sobre o eixo O y nas posições y=a e y=-a. (a) Considerando que o pontencial a uma distância infinita das cargas é igual a zero, mostre que o potencial em qualquer ponto do eixo O x é dado por
V=12 pi epsilon0 qraiza^2+x^2
(b) Determine o potencial para x gg a. Interprete o resultado. © Faça um gráfico do potencial em função de x.

Passo 1

Então, a gente tem duas cargas positivas iguais a posicionadas no eixo em e . A questão pede para a gente encontrar o potencial elétrico em pontos do eixo , usar algumas fórmulas de eletrostática, e até fazer um gráfico. Vamos precisar entender como calcular o potencial de cargas pontuais e usar um pouco de aproximação para valores grandes de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico V = 14 pi epsilon0 qr de uma carga pontual em uma distância é dado por:
Aqui, é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Como temos duas cargas, o potencial total no ponto de interesse é a soma dos potenciais criados por cada uma das cargas. Vamos considerar um ponto qualquer no eixo , com coordenadas .

Passo 4

A distância de cada carga ao ponto V1 = 14 pi epsilon0 qraiza^2 + x^2 é V = 2 V1 = 12 pi epsilon0 qraiza^2 + x^2 . Então, o potencial devido a uma carga é:
E como temos duas cargas iguais, o potencial total será:

Passo 5

Então, mostramos que o potencial no eixo V = 12 pi epsilon0 qraiza^2 + x^2 é:

Passo 6

Agora, para a parte (b), queremos determinar o potencial quando V approx 12 pi epsilon0 qx . Isso significa que V approx 12 pi epsilon0 2q2x = 14 pi epsilon0 2qx é muito maior que , então . Assim, o potencial fica aproximadamente:
Isso mostra que, para distâncias muito grandes, o sistema de duas cargas se comporta como se fosse uma única carga com carga total , já que:
O resultado indica que, a grandes distâncias, o efeito das duas cargas se soma de forma simplificada.

Passo 7

Por fim, para a parte ©, o gráfico do potencial em função de terá a forma de uma curva que começa alta próximo a e decresce conforme aumenta, se aproximando da forma de para . Basicamente, o potencial diminui à medida que nos afastamos das cargas no eixo .

Resposta

O potencial no eixo V = 12 pi epsilon0 qraiza^2 + x^2 é dado por

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