Duplas cargas puntiformes positivas, iguais a
, são fixadas sobre o eixo
nas posições
e
. (a) Considerando que o pontencial a uma distância infinita das cargas é igual a zero, mostre que o potencial em qualquer ponto do eixo
é dado por
(b) Determine o potencial para
. Interprete o resultado. © Faça um gráfico do potencial em função de
.
Passo 1
Então, a gente tem duas cargas positivas iguais a
posicionadas no eixo
em
e
. A questão pede para a gente encontrar o potencial elétrico em pontos do eixo
, usar algumas fórmulas de eletrostática, e até fazer um gráfico. Vamos precisar entender como calcular o potencial de cargas pontuais e usar um pouco de aproximação para valores grandes de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico
de uma carga pontual
em uma distância
é dado por:
Aqui,
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
Como temos duas cargas, o potencial total no ponto de interesse é a soma dos potenciais criados por cada uma das cargas. Vamos considerar um ponto qualquer no eixo
, com coordenadas
.
Passo 4
A distância de cada carga ao ponto
é
. Então, o potencial devido a uma carga é:
E como temos duas cargas iguais, o potencial total
será:
Passo 5
Então, mostramos que o potencial no eixo
é:
Passo 6
Agora, para a parte (b), queremos determinar o potencial quando
. Isso significa que
é muito maior que
, então
. Assim, o potencial fica aproximadamente:
Isso mostra que, para distâncias muito grandes, o sistema de duas cargas se comporta como se fosse uma única carga com carga total
, já que:
O resultado indica que, a grandes distâncias, o efeito das duas cargas se soma de forma simplificada.
Passo 7
Por fim, para a parte ©, o gráfico do potencial
em função de
terá a forma de uma curva que começa alta próximo a
e decresce conforme
aumenta, se aproximando da forma de
para
. Basicamente, o potencial diminui à medida que nos afastamos das cargas no eixo
.
Resposta
O potencial no eixo
é dado por
Exercícios relacionados
Considere um anel de raio
carregado com uma carga total
. Se o eixo do anel coincidir com eixo
, a única componente não nula do campo elétrico é
Integre o campo elétrico para obter o potencial nos pontos do eixo do anel. Suponha que o potencial é zero no infinito.
Quatro segmentos de fio de comprimento
formam um quadrado de lado
. Considerando que
no infinito, calcule o potencial elétrico no centro do quadrado nos seguintes casos: (a) os quatro fios possuem carga
; (b) dois fios possuem carga
e os outros dois possuem carga
. No caso (b), a resposta depende de quais são os fios de carga positiva e quais são os fios de carga negativa? Sugestão: use o resultado para o potencial de um fio feito nas notas de aula.
Um disco uniformemente carregado possui raio igual a
e carga igual a 4,0 pC. (a) Obtenha o módulo do campo elétrico sobre o eixo do disco a uma distância igual a
do seu centro. (b) Calcule o módulo do campo elétrico a uma distância igual a
de um plano infinito que possui a mesma densidade superficial de carga e compare com o campo do disco. Por que o valor calculado em (a) é menor?
Uma esfera condutora de raio
possui uma carga
. Ela é colocada no interior de uma esfera condutora oca, descarregada, de raio interno
e raio externo
, de forma que as esferas sejam concêntricas. (a) Obtenha expressões para o campo elétrico para
,
,
e
. (b) Faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância. © Determine as cargas na superfície interna e na superfície externa da esfera oca. (d) Faça um desenho indicando a localização das cargas e as linhas de campo elétrico.