Duplas cargas puntiformes positivas, iguais a
, são fixadas sobre o eixo
nas posições
e
. (a) Considerando que o pontencial a uma distância infinita das cargas é igual a zero, mostre que o potencial em qualquer ponto do eixo
é dado por
(b) Determine o potencial para
. Interprete o resultado. © Faça um gráfico do potencial em função de
.
Passo 1
Então, a gente tem duas cargas positivas iguais a
posicionadas no eixo
em
e
. A questão pede para a gente encontrar o potencial elétrico em pontos do eixo
, usar algumas fórmulas de eletrostática, e até fazer um gráfico. Vamos precisar entender como calcular o potencial de cargas pontuais e usar um pouco de aproximação para valores grandes de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico
de uma carga pontual
em uma distância
é dado por:
Aqui,
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
Como temos duas cargas, o potencial total no ponto de interesse é a soma dos potenciais criados por cada uma das cargas. Vamos considerar um ponto qualquer no eixo
, com coordenadas
.
Passo 4
A distância de cada carga ao ponto
é
. Então, o potencial devido a uma carga é:
E como temos duas cargas iguais, o potencial total
será:
Passo 5
Então, mostramos que o potencial no eixo
é:
Passo 6
Agora, para a parte (b), queremos determinar o potencial quando
. Isso significa que
é muito maior que
, então
. Assim, o potencial fica aproximadamente:
Isso mostra que, para distâncias muito grandes, o sistema de duas cargas se comporta como se fosse uma única carga com carga total
, já que:
O resultado indica que, a grandes distâncias, o efeito das duas cargas se soma de forma simplificada.
Passo 7
Por fim, para a parte ©, o gráfico do potencial
em função de
terá a forma de uma curva que começa alta próximo a
e decresce conforme
aumenta, se aproximando da forma de
para
. Basicamente, o potencial diminui à medida que nos afastamos das cargas no eixo
.
Resposta
O potencial no eixo
é dado por