Considere um anel de raio
uniformemente carregado com carga
. Por conveniência, escolha os eixos cartesiano de modo que o anel esteja no plano
e a origem coincida com o centro do anel.
(a) Calcule, por integração direta, o potencial eletrostático gerado pelo anel no eixo
.
(a) Calcule, por integração direta, o potencial eletrostático gerado pelo anel no eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um anel de raio
com carga total
, posicionado no plano
e centrado na origem. A questão pede para calcular o potencial eletrostático gerado por esse anel ao longo do eixo
. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a fórmula do potencial elétrico devido a uma distribuição de carga. Vamos precisar integrar a contribuição de cada parte da carga do anel para encontrar o potencial total no ponto desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do potencial elétrico
gerado por uma carga pontual. O potencial em um ponto devido a uma carga
é dado por:
onde:
-
é a constante de permissividade do vácuo, -
é um elemento infinitesimal de carga, -
é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.
Passo 3
Agora, vamos considerar que estamos calculando o potencial em um ponto ao longo do eixo
, a uma distância
da origem. Todas as cargas no anel estão a uma mesma distância desse ponto. Vamos determinar essa distância
.
Como o anel está no plano
e o ponto está no eixo
, a distância
do ponto ao elemento de carga
no anel é dada pelo teorema de Pitágoras:
Isso porque o anel tem raio
e o ponto está a uma altura
acima do plano do anel.
Passo 4
Como a distância
é a mesma para todos os elementos de carga
no anel, podemos simplificar a integração. O potencial total
será a soma de todas as contribuições de
de cada
ao longo do anel. Assim, temos:
Como
é constante para todos os
, podemos tirá-lo da integral:
A integral de
ao longo de todo o anel é simplesmente a carga total
:
Passo 5
Substituindo
por
na equação anterior, temos:
Simplificando, o potencial eletrostático
no ponto ao longo do eixo
é:
Resposta
O potencial eletrostático gerado pelo anel no eixo
é: