Considere um anel de raio a uniformemente carregado com carga Q. Por conveniência, escolha os eixos cartesiano de modo que o anel esteja no plano O X Y e a origem coincida com o centro do anel.
(a) Calcule, por integração direta, o potencial eletrostático gerado pelo anel no eixo O Z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um anel de raio com carga total , posicionado no plano e centrado na origem. A questão pede para calcular o potencial eletrostático gerado por esse anel ao longo do eixo . Para resolver isso, precisamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a fórmula do potencial elétrico devido a uma distribuição de carga. Vamos precisar integrar a contribuição de cada parte da carga do anel para encontrar o potencial total no ponto desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do potencial elétrico dV = 14piepsilon0 cdot dqr gerado por uma carga pontual. O potencial em um ponto devido a uma carga é dado por:
onde:
  • é a constante de permissividade do vácuo,
  • é um elemento infinitesimal de carga,
  • é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.

Passo 3

Agora, vamos considerar que estamos calculando o potencial em um ponto ao longo do eixo r = raiza^2 + z^2 , a uma distância da origem. Todas as cargas no anel estão a uma mesma distância desse ponto. Vamos determinar essa distância .
Como o anel está no plano e o ponto está no eixo , a distância do ponto ao elemento de carga no anel é dada pelo teorema de Pitágoras:
Isso porque o anel tem raio e o ponto está a uma altura acima do plano do anel.

Passo 4

Como a distância V = integral dV = 14piepsilon0 integral dqraiza^2 + z^2 é a mesma para todos os elementos de carga V = 14piepsilon0 raiza^2 + z^2 integral dq no anel, podemos simplificar a integração. O potencial total integral dq = Q será a soma de todas as contribuições de de cada ao longo do anel. Assim, temos:
Como é constante para todos os , podemos tirá-lo da integral:
A integral de ao longo de todo o anel é simplesmente a carga total :

Passo 5

Substituindo V = 14piepsilon0 raiza^2 + z^2 cdot Q por V = Q4piepsilon0 raiza^2 + z^2 na equação anterior, temos:
Simplificando, o potencial eletrostático no ponto ao longo do eixo é:

Resposta

O potencial eletrostático gerado pelo anel no eixo V = Q4piepsilon0 raiza^2 + z^2 é:

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