(f) Utilizando o método dos mínimos quadrados (MMQ) determine of valor da constante gravitacional, .
i. Construa um gráfico em papel milimetrado de em função da variável que ele dependa linearmente. (DICA: Considere que o eixo de é multiplicado por .) ( )
ii. Calcule o coeficiente angular, , da melhor reta pelo MMQ (considere que o coeficiente linear é nulo, i.e. ), e, finalmente, trace a reta do MMQ.
iii. Determine o valor de a partir do valor de
Se necessário, utilize o resultado:
iv. Determine a incerteza de a partir das incertezas de , e de outras variáveis relevantes (desconsidere a incerteza de qualquer ângulo que apareça na expressão). (DICA: Verifique qual das incertezas é mais relevante para o cálculo.) Note que m , s e kg são unidades de metro, segundo e quilograma, respectivamente.
Page 2
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) para encontrar a constante gravitacional, . O que precisamos saber aqui é como usar o MMQ para ajustar uma reta aos dados experimentais e, a partir disso, calcular . Vamos precisar entender como construir o gráfico, calcular o coeficiente angular da melhor reta e determinar com base nesse coeficiente. Além disso, vamos cuidar das incertezas envolvidas no cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos construir o gráfico solicitado na parte (i). A gente precisa plotar em função de uma variável que dependa linearmente dela. A dica aqui é que o eixo de deve ser multiplicado por . Isso significa que cada valor de que você tem será multiplicado por antes de plotar no gráfico.
Para fazer isso:
Pegue os valores de que você tem.
Multiplique cada valor por .
No papel milimetrado, coloque no eixo e a outra variável (que depende linearmente de ) no eixo .
Isso vai ajudar a visualizar melhor a relação linear entre as duas variáveis.
Passo 3
Agora, na parte (ii), vamos calcular o coeficiente angular da melhor reta usando o MMQ, considerando que o coeficiente linear é zero. O MMQ é uma técnica que ajusta uma linha reta aos dados de forma que a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores da linha ajustada seja mínima.
Como estamos considerando , a equação da reta fica simplesmente .
Para calcular , usamos a fórmula:
Onde:
são os valores da variável independente.
são os valores de .
Depois de calcular , você pode traçar a reta no gráfico que fez no Passo 2 usando essa inclinação.
Passo 4
Na parte (iii), precisamos determinar o valor da constante gravitacional a partir do valor de . A relação entre e deve ser estabelecida a partir das equações físicas que conectam o período de um pêndulo simples com .
Sem a expressão exata, geralmente, pode ser relacionado a através de uma fórmula que envolve constantes físicas e geométricas do sistema experimental. Supondo que essa relação seja direta e que todos os valores necessários são conhecidos, simplesmente substituímos na fórmula para calcular .
Por exemplo, se tivermos algo como:
Onde é uma constante derivada das condições experimentais, então:
Pegue o valor de que você calculou.
Substitua na fórmula acima para encontrar .
Passo 5
Finalmente, na parte (iv), vamos determinar a incerteza em a partir das incertezas em e em outras variáveis relevantes, ignorando a incerteza nos ângulos. A incerteza em () pode ser calculada usando a propagação de incertezas.
Se depende de de forma inversa, como no exemplo que demos:
Aqui, é a incerteza no coeficiente angular que você obteve.
Então:
Calcule a derivada de em relação a .
Multiplique pela incerteza em para obter .
Considere apenas a incerteza mais relevante para simplificar, como indicado na dica.
Resposta
Após seguir todos os passos e realizar os cálculos necessários, o valor da constante gravitacional é determinado como com uma incerteza de .