(f) Utilizando o método dos mínimos quadrados (MMQ) determine of valor da constante gravitacional, G.
i. Construa um gráfico em papel milimetrado de barT^-2 em função da variável que ele dependa linearmente. (DICA: Considere que o eixo de barT^-2 é multiplicado por 10^-5.) ( 1,0 p )
ii. Calcule o coeficiente angular, aM M Q, da melhor reta pelo MMQ (considere que o coeficiente linear é nulo, i.e. b=0 ), e, finalmente, trace a reta do MMQ. (1,5 p)
iii. Determine o valor de G a partir do valor de aM M Q (1,0 p)
Se necessário, utilize o resultado:
cos (theta02)sin ^2(theta02)-sin (theta02)cos ^2(theta02)=2,79743
iv. Determine a incerteza de G a partir das incertezas de aM M Q, u(aM M Q), e de outras variáveis relevantes (desconsidere a incerteza de qualquer ângulo que apareça na expressão). (DICA: Verifique qual das incertezas é mais relevante para o cálculo.) (0,5 p)
^1 Note que m , s e kg são unidades de metro, segundo e quilograma, respectivamente.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) para encontrar a constante gravitacional, . O que precisamos saber aqui é como usar o MMQ para ajustar uma reta aos dados experimentais e, a partir disso, calcular . Vamos precisar entender como construir o gráfico, calcular o coeficiente angular da melhor reta e determinar com base nesse coeficiente. Além disso, vamos cuidar das incertezas envolvidas no cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos construir o gráfico solicitado na parte (i). A gente precisa plotar em função de uma variável que dependa linearmente dela. A dica aqui é que o eixo de deve ser multiplicado por . Isso significa que cada valor de que você tem será multiplicado por antes de plotar no gráfico.
Para fazer isso:
  1. Pegue os valores de que você tem.
  2. Multiplique cada valor por .
  3. No papel milimetrado, coloque no eixo e a outra variável (que depende linearmente de ) no eixo .
Isso vai ajudar a visualizar melhor a relação linear entre as duas variáveis.

Passo 3

Agora, na parte (ii), vamos calcular o coeficiente angular aMMQ = sum (xi yi)sum xi^2 da melhor reta usando o MMQ, considerando que o coeficiente linear é zero. O MMQ é uma técnica que ajusta uma linha reta aos dados de forma que a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores da linha ajustada seja mínima.
Como estamos considerando , a equação da reta fica simplesmente .
Para calcular , usamos a fórmula:
Onde:
  • são os valores da variável independente.
  • são os valores de .
Depois de calcular , você pode traçar a reta no gráfico que fez no Passo 2 usando essa inclinação.

Passo 4

Na parte (iii), precisamos determinar o valor da constante gravitacional G = kaMMQ a partir do valor de . A relação entre e deve ser estabelecida a partir das equações físicas que conectam o período de um pêndulo simples com .
Sem a expressão exata, geralmente, pode ser relacionado a através de uma fórmula que envolve constantes físicas e geométricas do sistema experimental. Supondo que essa relação seja direta e que todos os valores necessários são conhecidos, simplesmente substituímos na fórmula para calcular .
Por exemplo, se tivermos algo como:
Onde é uma constante derivada das condições experimentais, então:
  1. Pegue o valor de que você calculou.
  2. Substitua na fórmula acima para encontrar .

Passo 5

Finalmente, na parte (iv), vamos determinar a incerteza em u(G) = | dGdaMMQ | u(aMMQ) = | -kaMMQ^2 | u(aMMQ) a partir das incertezas em e em outras variáveis relevantes, ignorando a incerteza nos ângulos. A incerteza em ( ) pode ser calculada usando a propagação de incertezas.
Se depende de de forma inversa, como no exemplo que demos:
Aqui, é a incerteza no coeficiente angular que você obteve.
Então:
  1. Calcule a derivada de em relação a .
  2. Multiplique pela incerteza em para obter .
  3. Considere apenas a incerteza mais relevante para simplificar, como indicado na dica.

Resposta

Após seguir todos os passos e realizar os cálculos necessários, o valor da constante gravitacional é determinado como com uma incerteza de .

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