Considere o ângulo
e o ponto
em seu interior. Mostre que a semirreta
intersecciona o segmento
. (Este resultado é conhecido como Teorema de Crossbar).
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um triângulo com vértices nos pontos
,
e
, e um ângulo
. Dentro desse ângulo, há um ponto
. O que precisamos mostrar é que a semirreta que parte de
e passa por
(ou seja, a semirreta
) vai cruzar o segmento
. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de geometria plana, como segmentos de reta, semirretas e a propriedade de triângulos.
Passo 2
Primeiro, desenhemos o triângulo
com o vértice
no topo e os lados
e
formando o ângulo
. Colocamos o ponto
dentro desse ângulo, ou seja, entre as semirretas
e
.
Passo 3
Agora, consideramos a semirreta
, que começa em
e passa pelo ponto
para o infinito. Como
está dentro do ângulo
, a semirreta
está direcionada para dentro do triângulo, ou seja, em direção ao interior da figura.
Passo 4
Sabemos que um triângulo é uma figura convexa, o que significa que, para qualquer ponto dentro do triângulo, qualquer semirreta que parte desse ponto para uma direção interna vai eventualmente atingir um dos lados do triângulo. No nosso caso, a semirreta
está direcionada para dentro do triângulo
, então ela deve cruzar algum lado desse triângulo.
Passo 5
Especificamente, a semirreta
está percorrendo o interior do ângulo
em direção ao lado oposto, que é o segmento
. Devido à propriedade da convexidade do triângulo e à direção da semirreta
, ela inevitavelmente vai encontrar o segmento
em algum ponto.
Resposta
Portanto, a semirreta
intersecciona o segmento
, conforme demonstrado pelo Teorema de Crossbar.