Considere as seguinte definições:
(i) Uma poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos e pelos segmentos . Os pontos são os vértices da poligonal e os segmentos são seus lados.
(ii) Um polígono é uma poligonal em que as seguintes consições são satisfeitas:
(ii.1) ;
(ii.2) os lados da poligonal se intercectam somente em suas extremidades;
(ii.3) cada vértice é extremidade de dois lados e
(ii.4) dois lados com a mesma extremidade não pertecem a uma mesma reta.
Um exemplo é o paralelogramo, que trata-se de um polígono de quatro lados em que os lados opostos são paralelos, isto é, as retas que contém esses lados são paralelas. Prove que, em um paralelogramo, valem as seguintes propriedades:
(a) Cada diagonal separa um paralelogramo em dois triângulos congruentes.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que, em um paralelogramo, cada diagonal divide a figura em dois triângulos congruentes. Aqui, estamos trabalhando com Geometria, mais especificamente com propriedades de paralelogramos e congruência de triângulos. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é um paralelogramo, o que significa dois triângulos serem congruentes e aplicar os critérios de congruência de triângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um paralelogramo. É um quadrilátero onde os lados opostos são paralelos e de igual comprimento. Além disso, as diagonais de um paralelogramo se dividem ao meio, ou seja, elas se cortam em seu ponto médio.

Passo 3

Agora, vamos desenhar uma diagonal no paralelogramo, por exemplo, a diagonal . Essa diagonal vai dividir o paralelogramo em dois triângulos: e .

Passo 4

Vamos analisar os lados desses triângulos:
  • O lado é igual ao lado porque os lados opostos de um paralelogramo são iguais.
  • O lado é igual ao lado pelas mesmas razões.
  • A diagonal é comum aos dois triângulos.

Passo 5

Com isso, temos que dois lados e o lado incluso de um triângulo são iguais aos dois lados e o lado incluso do outro triângulo. Isso corresponde ao Critério Lado-Lado-Lado (LLL) de congruência de triângulos, que diz que se três lados de um triângulo são iguais a três lados de outro triângulo, os triângulos são congruentes.

Passo 6

Aplicando o Critério LLL, concluímos que é congruente a . Portanto, cada diagonal do paralelogramo de fato divide a figura em dois triângulos congruentes.

Resposta

Assim, provamos que em um paralelogramo, cada diagonal separa a figura em dois triângulos congruentes.

Exercícios relacionados

Como definido, por triângulo entendemos um polígono de três lado. Um triângulo tem por elementos os três vértices, que são os pontos e ; os três lados, que são os segmentos e ; e os três ângulos internos, que são e . Quanto à medida de seus lados um triângulo pode ser chamado:
triângulo escaleno, aquele em que quaisquer dois de seus lados têm medidas diferentes.
Considere o ângulo e o ponto em seu interior. Mostre que a semirreta intersecciona o segmento . (Este resultado é conhecido como Teorema de Crossbar).
Considere as seguinte definições:
(i) Uma poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos e pelos segmentos . Os pontos são os vértices da poligonal e os segmentos são seus lados.
(ii) Um polígono é uma poligonal em que as seguintes consições são satisfeitas:
(ii.1) ;
(ii.2) os lados da poligonal se intercectam somente em suas extremidades;
(ii.3) cada vértice é extremidade de dois lados e
(ii.4) dois lados com a mesma extremidade não pertecem a uma mesma reta.
Um exemplo é o paralelogramo, que trata-se de um polígono de quatro lados em que os lados opostos são paralelos, isto é, as retas que contém esses lados são paralelas. Prove que, em um paralelogramo, valem as seguintes propriedades:
© Dois ângulos opostos quaisquer em um paralelogramo são congruentes.
Prove que:
(a) Dado um quadrilátero (polígono de quatro lados) em que ambos os pares de lados opostos são congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo.