Considere a aplicação de R^3 em R^3 dada por
T(x, y, z)=(0, z+y, z+2 y)
Determine uma base para o núcleo de T e uma base para a imagem de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear. A questão pede para achar uma base para o núcleo (ou kernel) e uma base para a imagem (ou range) da transformação linear T(x, y, z) = (0, z + y, z + 2y) definida por:
Vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais, transformação linear, núcleo e imagem para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T(x, y, z) = (0, z + y, z + 2y) = (0, 0, 0) . O núcleo é o conjunto de todos os vetores 0 = 0 z + y = 0 z + 2y = 0 em que são mapeados para o vetor zero em . Matemáticamente, queremos:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema. A primeira equação já está satisfeita. As duas seguintes são:
z + y = 0 z + 2y = 0
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
(z + 2y) - (z + y) = 0 - 0 Rightarrow y = 0
Substituindo z + 0 = 0 Rightarrow z = 0 na primeira equação:
Então, e . Como não aparece nas equações, ele pode ser qualquer número real.

Passo 4

Isso significa que o núcleo de , (1, 0, 0) , é formado por todos os vetores da forma , onde é um número real. Portanto, uma base para o núcleo é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem de T(x, y, z) = (0, z + y, z + 2y) . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como T(x, y, z) = 0 cdot e1 + (z + y) cdot e2 + (z + 2y) cdot e3 para algum em . Observando a transformação:
Podemos reescrever isso como:
Onde são os vetores canônicos de .

Passo 6

Para encontrar uma base para a imagem, vamos ver quais vetores são gerados por (z + y, z + 2y) = y(1, 2) + z(1, 1) . Vemos que:
Portanto, a imagem é gerada pelos vetores e nos componentes e .

Passo 7

Como os vetores , (0, 1, 1), (0, 2, 1) , e são linearmente independentes, eles formam uma base para a imagem de . Assim, uma base para a imagem de é:

Resposta

Uma base para o núcleo de é e uma base para a imagem de é .

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