Considere a aplicação de em dada por
Determine uma base para o núcleo de e uma base para a imagem de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear. A questão pede para achar uma base para o núcleo (ou kernel) e uma base para a imagem (ou range) da transformação linear definida por:
Vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais, transformação linear, núcleo e imagem para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Matemáticamente, queremos:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema. A primeira equação já está satisfeita. As duas seguintes são:
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
Substituindo na primeira equação:
Então, e . Como não aparece nas equações, ele pode ser qualquer número real.

Passo 4

Isso significa que o núcleo de é formado por todos os vetores da forma , onde é um número real. Portanto, uma base para o núcleo é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como para algum em . Observando a transformação:
Podemos reescrever isso como:
Onde são os vetores canônicos de .

Passo 6

Para encontrar uma base para a imagem, vamos ver quais vetores são gerados por . Vemos que:
Portanto, a imagem é gerada pelos vetores e nos componentes e .

Passo 7

Como os vetores e são linearmente independentes, eles formam uma base para a imagem de . Assim, uma base para a imagem de é:

Resposta

Uma base para o núcleo de é e uma base para a imagem de é .

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(a) Escreva, se possível, o vetor como combinação linear dos vetores e .
(b) Escreva, se possível, o vetor como combinação linear dos vetores e .
Determinar a forma geral dessa hipérbole, os autovalores e os respectivos autoespaços da matriz que a representa.