Dada a parábola de equação y^2+6 y-8 x+17=0, determinar uma equação do eixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de uma parábola: y^2 + 6,y - 8,x + 17 = 0. Nosso objetivo é encontrar a equação do eixo dessa parábola. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas, e precisaríamos manipular a equação para identificar o eixo de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar essa equação para facilitar a identificação do eixo. A ideia é isolar o termo que envolve o x. Então, vamos reorganizar os termos:
y^2 + 6,y = 8,x - 17

Passo 3

Agora, para deixar a equação mais parecida com a forma padrão da parábola, vamos completar o quadrado nos termos de y. Isso ajuda a identificar o vértice e a orientação da parábola.
Pegamos os coeficientes de y:
y^2 + 6,y + (62)^2 = 8,x - 17 + (62)^2
Calculando:
y^2 + 6,y + 9 = 8,x - 17 + 9
Simplificando:
(y + 3)^2 = 8,x - 8

Passo 4

Agora, vamos isolar x para deixar a equação na forma padrão da parábola horizontal:
(y + 3)^2 = 8,(x - 1)
A forma padrão de uma parábola que abre para a direita ou esquerda é:
(y - k)^2 = 4,p,(x - h)
Comparando com a nossa equação, vemos que:
  • h = 1
  • k = -3
  • 4,p = 8 então p = 2

Passo 5

Para parábolas que abrem para a direita ou esquerda, o eixo de simetria é a linha horizontal que passa pelo vértice. O vértice da parábola está em (h, k) = (1, -3).
Então, o eixo de simetria é a linha que passa por y = k.

Resposta

A equação do eixo da parábola é y = -3.

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