Sejam os vetores
de
.
(a) Escreva, se possível, o vetor
como combinação linear dos vetores
e
.
(b) Escreva, se possível, o vetor
como combinação linear dos vetores
e
.
(a) Escreva, se possível, o vetor
(b) Escreva, se possível, o vetor
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores
e
no espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as matrizes
. Precisamos verificar se o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como combinação linear e resolução de sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar escrever
como combinação linear de
e
. Isso significa que queremos encontrar escalares
tais que:
Isso nos dará um sistema de equações que podemos resolver para encontrar os valores de
e
.
Passo 3
Vamos substituir os valores dos vetores na equação:
Passo 4
Realizando a combinação linear, temos:
Desculpe, vamos fazer isso de forma mais clara. Cada entrada da matriz resultante deve ser igual à entrada correspondente da matriz
.
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
-
(posição [1,1]) -
(posição [1,2]) -
(posição [2,1]) -
(posição [2,2])
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
Equação 1:
Equação 3:
Substituindo
na equação 1:
Equação 2:
Substituindo
na equação acima:
Então:
Equação 4 para verificar:
Aqui percebemos que houve um erro na combinação linear. Vamos refazer a combinação corretamente.
Passo 6
Vamos corrigir a combinação linear:
Realizando a soma:
Isso nos dá o sistema correto:
-
(posição [1,1]) -
(posição [1,2]) -
(posição [2,1]) -
(posição [2,2])
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Equação 3:
Equação 1:
Equação 2:
Substituindo
:
Então:
Verificando na Equação 4:
Parece que houve um erro na aplicação das equações. Vamos verificar novamente as contas.
Passo 8
Na verdade, a equação 4 deveria se ajustar com os valores encontrados:
Isso indica que não há solução consistente para esse sistema, ou seja, o vetor
não pode ser escrito como uma combinação linear de
e
.
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b). Queremos verificar se o vetor
pode ser escrito como combinação linear apenas de
e
. Ou seja, encontrar escalares
e
tais que:
Passo 10
Substituindo os valores dos vetores na equação:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
-
(posição [1,1]) -
(posição [1,2]) -
(posição [2,1]) -
(posição [2,2])
Passo 11
Vamos resolver o sistema:
Equação 3:
Equação 1:
Verificando na Equação 2:
Como já há inconsistência, não há solução para esse sistema. Portanto, o vetor
não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
e
.
Resposta
Não é possível escrever o vetor
como uma combinação linear dos vetores
e
.
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em
dada por
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e uma base para a imagem de
.
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