Sejam os vetores v1=[ll1 & 0 1 & 1], v2=[cc-1 & 2 0 & 1], v3=[cc0 & 2 -1 & 1] de V=M2 times 2.
(a) Escreva, se possível, o vetor v=[ll1 & 8 0 & 5] como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3.
(b) Escreva, se possível, o vetor v como combinação linear dos vetores v1 e v2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores 1 & 8 0 & 5 e no espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes . Precisamos verificar se o vetor pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como combinação linear e resolução de sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar escrever v = a v1 + b v2 + c v3 como combinação linear de e . Isso significa que queremos encontrar escalares tais que:
Isso nos dará um sistema de equações que podemos resolver para encontrar os valores de e .

Passo 3

Vamos substituir os valores dos vetores na equação:
1 & 8 0 & 5 = a 1 & 0 1 & 1 + b -1 & 2 0 & 1 + c 0 & 2 -1 & 1

Passo 4

Realizando a combinação linear, temos:
1 & 8 0 & 5 = a(-1+0) & a(0+2c) a(1+0) & a(1+b+c)
Desculpe, vamos fazer isso de forma mais clara. Cada entrada da matriz resultante deve ser igual à entrada correspondente da matriz .
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. (posição [1,1])
  2. (posição [1,2])
  3. (posição [2,1])
  4. (posição [2,2])

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
Equação 1:
a - b = 1 Rightarrow a = 1 + b
Equação 3:
a - c = 0 Rightarrow a = c
Substituindo c - b = 1 Rightarrow b = c - 1 na equação 1:
2b + 2c = 8 Rightarrow b + c = 4
Equação 2:
c - 1 + c = 4 Rightarrow 2c = 5 Rightarrow c = 52
Substituindo a = 52, b = 52 - 1 = 32 na equação acima:
a + b + c = 52 + 32 + 52 = 132 neq 5
Então:
Equação 4 para verificar:
Aqui percebemos que houve um erro na combinação linear. Vamos refazer a combinação corretamente.

Passo 6

Vamos corrigir a combinação linear:
v = a v1 + b v2 + c v3 = a 1 & 0 1 & 1 + b -1 & 2 0 & 1 + c 0 & 2 -1 & 1
Realizando a soma:
a - b & 2b + 2c a - c & a + b + c = 1 & 8 0 & 5
Isso nos dá o sistema correto:
  1. (posição [1,1])
  2. (posição [1,2])
  3. (posição [2,1])
  4. (posição [2,2])

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Equação 3:
a = c
Equação 1:
c - b = 1 Rightarrow b = c - 1
Equação 2:
2b + 2c = 8 Rightarrow b + c = 4
Substituindo c - 1 + c = 4 Rightarrow 2c = 5 Rightarrow c = 52 :
a = 52, b = 52 - 1 = 32
Então:
a + b + c = 52 + 32 + 52 = 132 neq 5
Verificando na Equação 4:
Parece que houve um erro na aplicação das equações. Vamos verificar novamente as contas.

Passo 8

Na verdade, a equação 4 deveria se ajustar com os valores encontrados:
a + b + c = 52 + 32 + 52 = 132 = 6.5 neq 5
Isso indica que não há solução consistente para esse sistema, ou seja, o vetor não pode ser escrito como uma combinação linear de e .

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b). Queremos verificar se o vetor v = a v1 + b v2 pode ser escrito como combinação linear apenas de e . Ou seja, encontrar escalares e tais que:

Passo 10

Substituindo os valores dos vetores na equação:
1 & 8 0 & 5 = a 1 & 0 1 & 1 + b -1 & 2 0 & 1
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. (posição [1,1])
  2. (posição [1,2])
  3. (posição [2,1])
  4. (posição [2,2])

Passo 11

Vamos resolver o sistema:
Equação 3:
a = 0
Equação 1:
0 - b = 1 Rightarrow b = -1
Verificando na Equação 2:
2(-1) = -2 neq 8
Como já há inconsistência, não há solução para esse sistema. Portanto, o vetor não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .

Resposta

Não é possível escrever o vetor 1 & 8 0 & 5 como uma combinação linear dos vetores e .

Exercícios relacionados