Sejam os vetores de .
(a) Escreva, se possível, o vetor como combinação linear dos vetores e .
(b) Escreva, se possível, o vetor como combinação linear dos vetores e .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores e no espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes . Precisamos verificar se o vetor pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como combinação linear e resolução de sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar escrever como combinação linear de e . Isso significa que queremos encontrar escalares tais que:
Isso nos dará um sistema de equações que podemos resolver para encontrar os valores de e .

Passo 3

Vamos substituir os valores dos vetores na equação:

Passo 4

Realizando a combinação linear, temos:
Desculpe, vamos fazer isso de forma mais clara. Cada entrada da matriz resultante deve ser igual à entrada correspondente da matriz .
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. (posição [1,1])
  2. (posição [1,2])
  3. (posição [2,1])
  4. (posição [2,2])

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
Equação 1:
Equação 3:
Substituindo na equação 1:
Equação 2:
Substituindo na equação acima:
Então:
Equação 4 para verificar:
Aqui percebemos que houve um erro na combinação linear. Vamos refazer a combinação corretamente.

Passo 6

Vamos corrigir a combinação linear:
Realizando a soma:
Isso nos dá o sistema correto:
  1. (posição [1,1])
  2. (posição [1,2])
  3. (posição [2,1])
  4. (posição [2,2])

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Equação 3:
Equação 1:
Equação 2:
Substituindo :
Então:
Verificando na Equação 4:
Parece que houve um erro na aplicação das equações. Vamos verificar novamente as contas.

Passo 8

Na verdade, a equação 4 deveria se ajustar com os valores encontrados:
Isso indica que não há solução consistente para esse sistema, ou seja, o vetor não pode ser escrito como uma combinação linear de e .

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b). Queremos verificar se o vetor pode ser escrito como combinação linear apenas de e . Ou seja, encontrar escalares e tais que:

Passo 10

Substituindo os valores dos vetores na equação:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. (posição [1,1])
  2. (posição [1,2])
  3. (posição [2,1])
  4. (posição [2,2])

Passo 11

Vamos resolver o sistema:
Equação 3:
Equação 1:
Verificando na Equação 2:
Como já há inconsistência, não há solução para esse sistema. Portanto, o vetor não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .

Resposta

Não é possível escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores e .

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