Construa explicitamente a transformação linear , tal que , e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir uma transformação linear . A transformação precisa atender às condições:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre transformações lineares e como representá-las usando matrizes. Para resolver, vamos precisar entender como uma transformação linear age sobre vetores e como podemos determinar as componentes da matriz que representa .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, vai de para , então a matriz que representa será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de:
Então, a transformação pode ser escrita como:

Passo 3

Agora, vamos usar as informações que a gente tem para encontrar os valores de e . Sabemos que:
E substituindo na expressão da transformação:
Isso nos dá as equações:

Passo 4

Também temos:
Substituindo novamente:
Isso nos dá mais equações:

Passo 5

Vamos agora resolver o sistema de equações para encontrar os valores de e .
Para e :
Somando as duas equações:
Substituindo na equação (1):
Para e :
Somando as duas equações:
Substituindo na equação (2):
Para e :
Somando as duas equações:
Substituindo na equação (3):

Resposta

A transformação linear é dada pela matriz:
Então, para qualquer vetor em , temos:

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Dada a parábola de equação , determinar um esboço do gráfico;
Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.
Dada a parábola de equação , determinar uma equação do eixo.
Considere a aplicação de em dada por
Determine uma base para o núcleo de e uma base para a imagem de .