Construa explicitamente a transformação linear , tal que , e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir uma transformação linear . A transformação precisa atender às condições:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre transformações lineares e como representá-las usando matrizes. Para resolver, vamos precisar entender como uma transformação linear age sobre vetores e como podemos determinar as componentes da matriz que representa .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, vai de para , então a matriz que representa será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de:
Então, a transformação pode ser escrita como:
Passo 3
Agora, vamos usar as informações que a gente tem para encontrar os valores de e . Sabemos que:
E substituindo na expressão da transformação:
Isso nos dá as equações:
Passo 4
Também temos:
Substituindo novamente:
Isso nos dá mais equações:
Passo 5
Vamos agora resolver o sistema de equações para encontrar os valores de e .