Construa explicitamente a transformação linear T: R^2 R^3, tal que T(1,-1)=(3,2,-2), e T(-1,2)=(1,-1,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir uma transformação linear T(1,-1) = (3,2,-2) e T(-1,2) = (1,-1,3) . A transformação precisa atender às condições:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre transformações lineares e como representá-las usando matrizes. Para resolver, vamos precisar entender como uma transformação linear age sobre vetores e como podemos determinar as componentes da matriz que representa .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, A = a & b c & d e & f vai de T(x, y) = A x y = a x + b y c x + d y e x + f y para , então a matriz que representa será uma matriz . Vamos chamar essa matriz de:
Então, a transformação pode ser escrita como:

Passo 3

Agora, vamos usar as informações que a gente tem para encontrar os valores de T(1,-1) = 3 2 -2 e a(1) + b(-1) c(1) + d(-1) e(1) + f(-1) = 3 2 -2 . Sabemos que:
a - b = 3 (1) c - d = 2 (2) e - f = -2 (3)
E substituindo na expressão da transformação:
Isso nos dá as equações:

Passo 4

Também temos:
T(-1,2) = 1 -1 3
Substituindo novamente:
a(-1) + b(2) c(-1) + d(2) e(-1) + f(2) = 1 -1 3
Isso nos dá mais equações:
- a + 2b = 1 (4) - c + 2d = -1 (5) - e + 2f = 3 (6)

Passo 5

Vamos agora resolver o sistema de equações para encontrar os valores de a - b = 3 (1) - a + 2b = 1 (4) e (a - b) + (-a + 2b) = 3 + 1 b = 4 .
Para a - 4 = 3 Rightarrow a = 7 e c - d = 2 (2) - c + 2d = -1 (5) :
(c - d) + (-c + 2d) = 2 + (-1) d = 1
Somando as duas equações:
c - 1 = 2 Rightarrow c = 3
Substituindo e - f = -2 (3) - e + 2f = 3 (6) na equação (1):
(e - f) + (-e + 2f) = -2 + 3 f = 1
Para e - 1 = -2 Rightarrow e = -1 e :
Somando as duas equações:
Substituindo na equação (2):
Para e :
Somando as duas equações:
Substituindo na equação (3):

Resposta

A transformação linear A = 7 & 4 3 & 1 -1 & 1 é dada pela matriz:
T(x, y) = 7x + 4y 3x + y - x + y
Então, para qualquer vetor em , temos:

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