Determinar a forma geral dessa hipérbole, os autovalores e os respectivos autoespaços da matriz que a representa.
Passo 1
Vamos lá! Você me pediu para determinar a forma geral de uma hipérbole, além de encontrar os autovalores e os respectivos autoespaços da matriz que representa essa hipérbole. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra linear. Precisaremos entender como uma hipérbole é representada por uma matriz e como calcular seus autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma hipérbole pode ser representada pela equação quadrática geral:
Essa equação pode ser escrita na forma matricial:
A matriz que representa a parte quadrática da hipérbole é:
Passo 3
Para encontrar os autovalores da matriz
, precisamos resolver a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores. Calculando o determinante:
Essa equação quadrática em
dará os autovalores.
Passo 4
Após encontrar os autovalores
e
, vamos determinar os autovetores correspondentes a cada um. Para cada autovalor
, resolvemos o sistema:
Isso significa que substituímos
na matriz
e resolvemos para o vetor
, que será o autovetor associado àquele autovalor.
Resposta
A forma geral da hipérbole representada pela matriz
é:
Os autovalores da matriz
são as soluções da equação característica:
Para cada autovalor
, os respectivos autoespaços são os conjuntos de vetores
que satisfazem
, ou seja, os autovetores associados a cada
.