Determinar a forma geral dessa hipérbole, os autovalores e os respectivos autoespaços da matriz que a representa.

Passo 1

Vamos lá! Você me pediu para determinar a forma geral de uma hipérbole, além de encontrar os autovalores e os respectivos autoespaços da matriz que representa essa hipérbole. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra linear. Precisaremos entender como uma hipérbole é representada por uma matriz e como calcular seus autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma hipérbole pode ser representada pela equação quadrática geral:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
Essa equação pode ser escrita na forma matricial:
x & y A & B2 B2 & C x y + D & E x y + F = 0
A matriz que representa a parte quadrática da hipérbole é:
M = A & B2 B2 & C

Passo 3

Para encontrar os autovalores da matriz det(M - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica:
det( A - lambda & B2 B2 & C - lambda ) = (A - lambda)(C - lambda) - ( B2 )^2 = 0
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Calculando o determinante:
Essa equação quadrática em dará os autovalores.

Passo 4

Após encontrar os autovalores (M - lambda I)v = 0 e v1 v2 , vamos determinar os autovetores correspondentes a cada um. Para cada autovalor , resolvemos o sistema:
Isso significa que substituímos na matriz e resolvemos para o vetor , que será o autovetor associado àquele autovalor.

Resposta

A forma geral da hipérbole representada pela matriz Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 é:
(A - lambda)(C - lambda) - ( B2 )^2 = 0
Os autovalores da matriz são as soluções da equação característica:
Para cada autovalor , os respectivos autoespaços são os conjuntos de vetores que satisfazem , ou seja, os autovetores associados a cada .

Exercícios relacionados