Determinar a forma geral dessa hipérbole, os autovalores e os respectivos autoespaços da matriz que a representa.

Passo 1

Vamos lá! Você me pediu para determinar a forma geral de uma hipérbole, além de encontrar os autovalores e os respectivos autoespaços da matriz que representa essa hipérbole. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra linear. Precisaremos entender como uma hipérbole é representada por uma matriz e como calcular seus autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma hipérbole pode ser representada pela equação quadrática geral:
Essa equação pode ser escrita na forma matricial:
A matriz que representa a parte quadrática da hipérbole é:

Passo 3

Para encontrar os autovalores da matriz , precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Calculando o determinante:
Essa equação quadrática em dará os autovalores.

Passo 4

Após encontrar os autovalores e , vamos determinar os autovetores correspondentes a cada um. Para cada autovalor , resolvemos o sistema:
Isso significa que substituímos na matriz e resolvemos para o vetor , que será o autovetor associado àquele autovalor.

Resposta

A forma geral da hipérbole representada pela matriz é:
Os autovalores da matriz são as soluções da equação característica:
Para cada autovalor , os respectivos autoespaços são os conjuntos de vetores que satisfazem , ou seja, os autovetores associados a cada .

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