Determinar a forma geral dessa hipérbole, os autovalores e os respectivos autoespaços da matriz que a representa.
Passo 1
Vamos lá! Você me pediu para determinar a forma geral de uma hipérbole, além de encontrar os autovalores e os respectivos autoespaços da matriz que representa essa hipérbole. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra linear. Precisaremos entender como uma hipérbole é representada por uma matriz e como calcular seus autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma hipérbole pode ser representada pela equação quadrática geral:
Essa equação pode ser escrita na forma matricial:
A matriz que representa a parte quadrática da hipérbole é:
Passo 3
Para encontrar os autovalores da matriz
, precisamos resolver a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores. Calculando o determinante:
Essa equação quadrática em
dará os autovalores.
Passo 4
Após encontrar os autovalores
e
, vamos determinar os autovetores correspondentes a cada um. Para cada autovalor
, resolvemos o sistema:
Isso significa que substituímos
na matriz
e resolvemos para o vetor
, que será o autovetor associado àquele autovalor.
Resposta
A forma geral da hipérbole representada pela matriz
é:
Os autovalores da matriz
são as soluções da equação característica:
Para cada autovalor
, os respectivos autoespaços são os conjuntos de vetores
que satisfazem
, ou seja, os autovetores associados a cada
.
Exercícios relacionados
Sejam os vetores
de
.
(a) Escreva, se possível, o vetor como combinação linear dos vetores
e
.
(b) Escreva, se possível, o vetor como combinação linear dos vetores
e
.
(a) Escreva, se possível, o vetor
(b) Escreva, se possível, o vetor
Considere a aplicação de
em
dada por
Determine uma base para o núcleo de
e uma base para a imagem de
.
Encontre as raízes características, os vetores característicos e a diagonalização da matriz;
Tome uma matriz
. Todas as suas quatro raízes características são positivas. O que se pode inferir a respeito do determinante dessa matriz? E com relação ao sinal da forma quadrática associada a essa matriz? Qual seria o posto dessa matriz?