Considere as aplicações
Faça a substituição direta para obter a função
(simplifique a expressão obtida), em seguida derive parcialmente tal função em relação a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções aí: a função
que recebe dois valores
e
e retorna três componentes, e a função
que recebe três valores
,
e
e retorna a soma dos quadrados desses valores. Nosso objetivo é substituir diretamente a função
na função
para obter uma nova função
e, em seguida, derivar parcialmente essa função em relação a
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a substituição de funções e como calcular derivadas parciais. Não se preocupe, vou explicar cada passo de forma simples!
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição direta. Isso significa que vamos pegar os valores que a função
retorna e colocar na função
.
A função
é dada por:
Ou seja, temos:
Agora, substituímos esses valores na função
:
Então, a função
fica:
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, vamos calcular cada termo ao quadrado:
- Para o primeiro termo:
- Para o segundo termo:
- Para o terceiro termo:
Agora, somando esses três termos:
Vamos expandir o terceiro termo:
Substituindo de volta na expressão de
:
Agora, vamos simplificar os termos no numerador:
Então,
Observamos que o numerador é igual a
, assim:
Passo 4
Agora que simplificamos a função
e vimos que ela é igual a 1, vamos derivar parcialmente essa função em relação a
.
A derivada parcial de uma função em relação a uma das suas variáveis mede como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes.
Como
é uma constante, sua derivada em relação a qualquer variável será zero.
Resposta
A derivada parcial da função
em relação a
é:
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