Considere as aplicações
Faça a substituição direta para obter a função (simplifique a expressão obtida), em seguida derive parcialmente tal função em relação a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções aí: a função que recebe dois valores e e retorna três componentes, e a função que recebe três valores , e e retorna a soma dos quadrados desses valores. Nosso objetivo é substituir diretamente a função na função para obter uma nova função e, em seguida, derivar parcialmente essa função em relação a .
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a substituição de funções e como calcular derivadas parciais. Não se preocupe, vou explicar cada passo de forma simples!

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição direta. Isso significa que vamos pegar os valores que a função retorna e colocar na função .
A função é dada por:
Ou seja, temos:
Agora, substituímos esses valores na função :
Então, a função fica:

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, vamos calcular cada termo ao quadrado:
  1. Para o primeiro termo:
  1. Para o segundo termo:
  1. Para o terceiro termo:
Agora, somando esses três termos:
Vamos expandir o terceiro termo:
Substituindo de volta na expressão de :
Agora, vamos simplificar os termos no numerador:
Então,
Observamos que o numerador é igual a , assim:

Passo 4

Agora que simplificamos a função e vimos que ela é igual a 1, vamos derivar parcialmente essa função em relação a .
A derivada parcial de uma função em relação a uma das suas variáveis mede como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes.
Como é uma constante, sua derivada em relação a qualquer variável será zero.

Resposta

A derivada parcial da função em relação a é:

Exercícios relacionados

Calcule aproximadamente
Calcule aproximadamente
Calcule aproximadamente
Calcule aproximadamente