Considere as aplicações
g(u, v)=(2 uu^2+v^2+1, 2 vu^2+v^2+1, u^2+v^2-1u^2+v^2+1) e f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2
Faça a substituição direta para obter a função h (simplifique a expressão obtida), em seguida derive parcialmente tal função em relação a u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções aí: a função que recebe dois valores e e retorna três componentes, e a função que recebe três valores , e e retorna a soma dos quadrados desses valores. Nosso objetivo é substituir diretamente a função na função para obter uma nova função e, em seguida, derivar parcialmente essa função em relação a .
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a substituição de funções e como calcular derivadas parciais. Não se preocupe, vou explicar cada passo de forma simples!

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição direta. Isso significa que vamos pegar os valores que a função g(u, v) = ( 2uu^2 + v^2 + 1, 2vu^2 + v^2 + 1, u^2 + v^2 - 1u^2 + v^2 + 1 ) retorna e colocar na função x = 2uu^2 + v^2 + 1, y = 2vu^2 + v^2 + 1, z = u^2 + v^2 - 1u^2 + v^2 + 1 .
A função f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 é dada por:
h(u, v) = ( 2uu^2 + v^2 + 1 )^2 + ( 2vu^2 + v^2 + 1 )^2 + ( u^2 + v^2 - 1u^2 + v^2 + 1 )^2
Ou seja, temos:
Agora, substituímos esses valores na função :
Então, a função fica:

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, vamos calcular cada termo ao quadrado:
  1. Para o primeiro termo:
( 2uu^2 + v^2 + 1 )^2 = 4u^2(u^2 + v^2 + 1)^2
  1. Para o segundo termo:
( 2vu^2 + v^2 + 1 )^2 = 4v^2(u^2 + v^2 + 1)^2
  1. Para o terceiro termo:
( u^2 + v^2 - 1u^2 + v^2 + 1 )^2 = (u^2 + v^2 - 1)^2(u^2 + v^2 + 1)^2
Agora, somando esses três termos:
h(u, v) = 4u^2 + 4v^2 + (u^2 + v^2 - 1)^2(u^2 + v^2 + 1)^2
Vamos expandir o terceiro termo:
(u^2 + v^2 - 1)^2 = u^4 + 2u^2v^2 + v^4 - 2u^2 - 2v^2 + 1
Substituindo de volta na expressão de h(u, v) = 4u^2 + 4v^2 + u^4 + 2u^2v^2 + v^4 - 2u^2 - 2v^2 + 1(u^2 + v^2 + 1)^2 :
4u^2 - 2u^2 = 2u^2 4v^2 - 2v^2 = 2v^2
Agora, vamos simplificar os termos no numerador:
h(u, v) = u^4 + 2u^2v^2 + v^4 + 2u^2 + 2v^2 + 1(u^2 + v^2 + 1)^2
Então,
h(u, v) = (u^2 + v^2 + 1)^2(u^2 + v^2 + 1)^2 = 1
Observamos que o numerador é igual a , assim:

Passo 4

Agora que simplificamos a função e vimos que ela é igual a 1, vamos derivar parcialmente essa função em relação a .
A derivada parcial de uma função em relação a uma das suas variáveis mede como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes.
Como é uma constante, sua derivada em relação a qualquer variável será zero.

Resposta

A derivada parcial da função partial hpartial u = 0 em relação a é:

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