Determine uma função potencial para cada campo conservativo:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função potencial para o campo conservativo dado por
. Isso está dentro do estudo de campos vetoriais e funções potenciais em cálculo vetorial. Para isso, vamos precisar integrar os componentes do campo vetorial e garantir que tudo faça sentido para formar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função potencial. Uma função potencial
para um campo conservativo
satisfaz que
, ou seja:
Isso significa que cada componente de
é a derivada parcial de
em relação àquela variável.
Passo 3
Vamos começar integrando o primeiro componente de
em relação a
para encontrar uma parte da função potencial:
Integrando em relação a
:
Aqui,
é uma função de integração que pode depender de
e
, já que ao integrar em relação a
, qualquer termo que não envolva
é tratado como uma função de
e
.
Passo 4
Agora, vamos usar o segundo componente de
:
Sabemos que
. Vamos derivar isso em relação a
:
Igualando às duas expressões para
:
Isso implica que:
Então,
não depende de
e pode ser apenas uma função de
:
Passo 5
Agora, vamos usar o terceiro componente de
:
Substituindo
, derivamos em relação a
:
Igualando às duas expressões para
:
Isso leva a:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 6
Finalmente, juntando tudo, a função potencial
é:
Resposta
A função potencial para o campo conservativo é:
Onde
é uma constante arbitrária.