Determine uma função potencial para cada campo conservativo:
© F(x, y, z) = (6xy^3 + 2z^2, 9x^2y^2, 4xz + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função potencial para o campo conservativo dado por . Isso está dentro do estudo de campos vetoriais e funções potenciais em cálculo vetorial. Para isso, vamos precisar integrar os componentes do campo vetorial e garantir que tudo faça sentido para formar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função potencial. Uma função potencial para um campo conservativo satisfaz que , ou seja:
Isso significa que cada componente de é a derivada parcial de em relação àquela variável.

Passo 3

Vamos começar integrando o primeiro componente de em relação a para encontrar uma parte da função potencial:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função de integração que pode depender de e , já que ao integrar em relação a , qualquer termo que não envolva é tratado como uma função de e .

Passo 4

Agora, vamos usar o segundo componente de :
Sabemos que . Vamos derivar isso em relação a :
Igualando às duas expressões para :
Isso implica que:
Então, não depende de e pode ser apenas uma função de :

Passo 5

Agora, vamos usar o terceiro componente de :
Substituindo , derivamos em relação a :
Igualando às duas expressões para :
Isso leva a:
Onde é uma constante de integração.

Passo 6

Finalmente, juntando tudo, a função potencial é:

Resposta

A função potencial para o campo conservativo é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados