Considere
e
como conjuntos. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que
, onde
,
e
são conjuntos. Estamos trabalhando com teoria dos conjuntos, especificamente com a operação de diferença entre conjuntos. Para resolver isso, vamos usar as definições de diferença de conjuntos e propriedades básicas das operações de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa a diferença entre conjuntos. Para dois conjuntos
e
, a diferença
é o conjunto dos elementos que estão em
mas não estão em
. Em outras palavras:
Isso vai nos ajudar a decompor a expressão que precisamos provar.
Passo 3
Vamos analisar o lado esquerdo da igualdade:
. Segundo a definição de diferença de conjuntos:
Então,
significa:
Ou seja, estamos pegando os elementos que estão em
, mas não estão nem em
nem em
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o lado direito da igualdade:
. Primeiro, encontramos
e
:
Então, a expressão
significa:
Agora, vamos entender o que significa
.
Passo 5
A expressão
quer dizer que
não está em
ou está em
. Formalmente:
Então, voltando à expressão
:
Mas já sabemos que
, então a condição
não pode ocorrer. Portanto, simplificamos para:
Resposta
Assim, vimos que tanto
quanto
resultam no conjunto
. Portanto, demonstramos que:
Exercícios relacionados
Considere
e
como conjuntos. Mostre que
.
Encontre os conjuntos
e
, se
e
.
Considere
e
. Encontre
Desenhe o diagrama de Venn para cada uma das combinações abaixo dos conjuntos
e
.