Considere e como conjuntos. Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que , onde , e são conjuntos. Estamos trabalhando com teoria dos conjuntos, especificamente com a operação de diferença entre conjuntos. Para resolver isso, vamos usar as definições de diferença de conjuntos e propriedades básicas das operações de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa a diferença entre conjuntos. Para dois conjuntos e , a diferença é o conjunto dos elementos que estão em mas não estão em . Em outras palavras:
Isso vai nos ajudar a decompor a expressão que precisamos provar.

Passo 3

Vamos analisar o lado esquerdo da igualdade: . Segundo a definição de diferença de conjuntos:
Então, significa:
Ou seja, estamos pegando os elementos que estão em , mas não estão nem em nem em .

Passo 4

Agora, vamos analisar o lado direito da igualdade: . Primeiro, encontramos e :
Então, a expressão significa:
Agora, vamos entender o que significa .

Passo 5

A expressão quer dizer que não está em ou está em . Formalmente:
Então, voltando à expressão :
Mas já sabemos que , então a condição não pode ocorrer. Portanto, simplificamos para:

Resposta

Assim, vimos que tanto quanto resultam no conjunto . Portanto, demonstramos que:

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Considere e como conjuntos. Mostre que
.
Encontre os conjuntos e , se e .
Considere e . Encontre
Desenhe o diagrama de Venn para cada uma das combinações abaixo dos conjuntos e .