Suponha que u times v cdot w=2. Calcule:
(2 u-v) times(v+3 w) cdot(-v).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular (2 u - v) times (v + 3 w) cdot (-v), sabendo que u times v cdot w = 2. Vamos usar operações vetoriais como produto vetorial e produto escalar, e também as propriedades dessas operações pra simplificar tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do produto vetorial: (2 u - v) times (v + 3 w). Para isso, usamos a propriedade distributiva do produto vetorial, que diz que a times (b + c) = a times b + a times c. Aplicando isso:
(2 u - v) times (v + 3 w) = 2u times v + 2u times 3w - v times v - v times 3w

Passo 3

Agora, simplificamos cada termo:
  1. 2u times v fica 2(u times v)
  2. 2u times 3w fica 6(u times w)
  3. v times v é igual a zero, porque o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é sempre zero.
  4. v times 3w fica 3(v times w)
Então, nossa expressão fica:
2(u times v) + 6(u times w) - 0 - 3(v times w) = 2(u times v) + 6(u times w) - 3(v times w)

Passo 4

Agora, precisamos calcular o produto escalar disso com -v. Ou seja:
[2(u times v) + 6(u times w) - 3(v times w)] cdot (-v)
Vamos distribuir o produto escalar:
-2(u times v) cdot v - 6(u times w) cdot v + 3(v times w) cdot v

Passo 5

Agora, observamos que o produto escalar de um produto vetorial com um dos vetores originais é zero. Ou seja:
  • (u times v) cdot v = 0
  • (v times w) cdot v = 0
Então, a expressão simplifica para:
-6(u times w) cdot v

Passo 6

Lembrando que o produto escalar é comutativo em relação à ordem dos vetores no triângulo vetorial. Ou seja, (u times w) cdot v = u times v cdot w. Sabemos que u times v cdot w = 2. Então:
-6(u times w) cdot v = -6 times 2 = -12

Resposta

O valor de (2 u-v) times(v+3 w) cdot(-v) é -12.

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