Considere A B=(1,0,1), A C= (1,2,3) e A D=(0,1,5).
Calcule a distância do ponto D ao plano que contém os pontos A, B e C .

Passo 1

Então, a gente tem um problema de geometria envolvendo vetores no espaço. A gente quer descobrir qual é a distância do ponto D a um plano que passa pelos pontos A, B e C. Pra resolver isso, vamos precisar usar vetores, equações de planos e a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que definem o plano. Temos os vetores AB = (1, 0, 1) e AC = (1, 2, 3). Esses dois vetores são direcionais no plano formado pelos pontos A, B e C.

Passo 3

Para achar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. O vetor normal pode ser encontrado calculando o produto vetorial dos vetores AB e AC.
O produto vetorial AB times AC é:
AB times AC = i & j & k 1 & 0 & 1 1 & 2 & 3 = i(0 cdot 3 - 1 cdot 2) - j(1 cdot 3 - 1 cdot 1) + k(1 cdot 2 - 0 cdot 1)
= i(-2) - j(2) + k(2) = (-2, -2, 2)
Então, o vetor normal ao plano é n = (-2, -2, 2).

Passo 4

Agora, usando o vetor normal n = (-2, -2, 2) e o ponto A (0, 0, 0) (supondo que A seja a origem), podemos escrever a equação do plano na forma:
-2(x - 0) - 2(y - 0) + 2(z - 0) = 0
-2x - 2y + 2z = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -2:
x + y - z = 0
Então, a equação do plano é x + y - z = 0.

Passo 5

Agora, queremos encontrar a distância do ponto D (0, 1, 5) a esse plano. A fórmula para a distância de um ponto (x0, y0, z0) a um plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
d = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Comparando com a equação do plano x + y - z = 0, temos A = 1, B = 1, C = -1, e D = 0.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
d = |1 cdot 0 + 1 cdot 1 + (-1) cdot 5 + 0|raiz1^2 + 1^2 + (-1)^2 = |0 + 1 - 5|raiz1 + 1 + 1 = |-4|raiz3 = 4raiz3
Podemos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador por raiz3:
d = 4raiz33

Resposta

A distância do ponto D ao plano é dfrac4raiz33 unidades.

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