Considere um triângulo cujos vértices são (3,1),(5,-2) e (6,3).
Ache também a área do triângulo via produto vetorial.

Passo 1

Beleza! A gente tem um triângulo com os vértices nas coordenadas (3,1), (5,-2) e (6,3). Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a área desse triângulo usando o produto vetorial. Para isso, vamos precisar saber como calcular vetores a partir dos pontos e como aplicar o produto vetorial para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar os pontos dados em vetores. Vamos pegar um dos vértices como ponto de partida e criar vetores que vão para os outros dois vértices. Por exemplo, podemos escolher o ponto (3,1) como origem.
Então, o vetor u vai de (3,1) para (5,-2):
u = (5 - 3, -2 - 1) = (2, -3)
E o vetor v vai de (3,1) para (6,3):
v = (6 - 3, 3 - 1) = (3, 2)

Passo 3

Agora que temos os vetores u e v, vamos usar o produto vetorial para encontrar a área do triângulo. No plano, o produto vetorial de dois vetores (a,b) e (c,d) é dado por:
u times v = a cdot d - b cdot c
Aplicando isso aos nossos vetores:
u times v = (2)(2) - (-3)(3) = 4 + 9 = 13

Passo 4

A área do triângulo é metade do valor absoluto do produto vetorial dos vetores que definem dois lados do triângulo. Então, temos:
Área = 12 times |u times v| = 12 times |13| = 132 Á

Resposta

A área do triângulo é 132 unidades quadradas.

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