Dados os vetores u=(1,2,-1) e v=(2,1,0). Expresse o vetor a=(2,2,3) como combinação de u, v, u times v;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem os vetores u = (1, 2, -1), v = (2, 1, 0) e queremos expressar o vetor a = (2, 2, 3) como uma combinação desses vetores e do produto vetorial u times v. Para isso, vamos precisar usar álgebra linear e entender como combinar vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial u times v. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor perpendicular aos dois primeiros. A fórmula para o produto vetorial é:
u times v = ( uy vz - uz vy,, uz vx - ux vz,, ux vy - uy vx )
Aplicando os valores:
u times v = (2 cdot 0 - (-1) cdot 1,, (-1) cdot 2 - 1 cdot 0,, 1 cdot 1 - 2 cdot 2) = (1, -2, -3)
Então, u times v = (1, -2, -3).

Passo 3

Agora, queremos expressar a = (2, 2, 3) como combinação linear dos vetores u, v e u times v. Isso significa que vamos encontrar números c1, c2 e c3 tais que:
a = c1 u + c2 v + c3 (u times v)
Substituindo os valores:
(2, 2, 3) = c1 (1, 2, -1) + c2 (2, 1, 0) + c3 (1, -2, -3)

Passo 4

Vamos montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes c1, c2 e c3. Igualando as componentes correspondentes dos vetores:
c1 cdot 1 + c2 cdot 2 + c3 cdot 1 = 2 c1 cdot 2 + c2 cdot 1 + c3 cdot (-2) = 2 c1 cdot (-1) + c2 cdot 0 + c3 cdot (-3) = 3
Simplificando:
c1 + 2c2 + c3 = 2 2c1 + c2 - 2c3 = 2 -c1 - 3c3 = 3

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiramente, da terceira equação:
-c1 - 3c3 = 3 Rightarrow c1 = -3 - 3c3
Agora, substituímos c1 na primeira equação:
(-3 - 3c3) + 2c2 + c3 = 2 -3 - 2c3 + 2c2 = 2 2c2 - 2c3 = 5 c2 - c3 = 52
Da segunda equação:
2(-3 - 3c3) + c2 - 2c3 = 2 -6 - 6c3 + c2 - 2c3 = 2 c2 - 8c3 = 8 c2 = 8c3 + 8
Substituindo c2 na equação c2 - c3 = 52:
(8c3 + 8) - c3 = 52 7c3 + 8 = 52 7c3 = 52 - 8 7c3 = 5 - 162 7c3 = -112 c3 = -1114

Passo 6

Agora que temos c3 = -1114, substituímos de volta para encontrar c2:
c2 = 8(-1114) + 8 = -8814 + 8 = -447 + 567 = 127
E para c1:
c1 = -3 - 3(-1114) = -3 + 3314 = -4214 + 3314 = -914

Resposta

O vetor a = (2, 2, 3) pode ser expresso como combinação dos vetores u, v e u times v da seguinte forma:
a = -914u + 127v - 1114(u times v)

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