Considere A B=(1,0,1), A C= (1,2,3) e A D=(0,1,5).
Calcule o volume do paralelepípedo com arestas A B, A C e A D.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional: A B = (1, 0, 1), A C = (1, 2, 3) e A D = (0, 1, 5). O que queremos é descobrir o volume do paralelepípedo formado por essas três arestas. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto misto dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um paralelepípedo. É uma figura geométrica tridimensional formada por seis faces retangulares, onde cada face oposta é igual. O volume desse paralelepípedo pode ser calculado usando o produto misto dos três vetores que formam suas arestas.
A fórmula para o volume ( V) do paralelepípedo é dada por:
V = |A B cdot (A C times A D)|
Aqui, times representa o produto vetorial e cdot o produto escalar. O resultado final é o valor absoluto do produto misto, garantindo que o volume seja sempre positivo.

Passo 3

Vamos começar calculando o produto vetorial de A C e A D.
Dados:
A C = (1, 2, 3) A D = (0, 1, 5)
O produto vetorial A C times A D é calculado usando a seguinte matriz determinante:
A C times A D = i & j & k 1 & 2 & 3 0 & 1 & 5
Calculando o determinante:
  • A componente i: (2)(5) - (3)(1) = 10 - 3 = 7
  • A componente j (lembre-se de mudar o sinal): -[(1)(5) - (3)(0)] = -(5 - 0) = -5
  • A componente k: (1)(1) - (2)(0) = 1 - 0 = 1
Portanto:
A C times A D = (7, -5, 1)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar de A B com o resultado do produto vetorial que acabamos de encontrar.
Dados:
A B = (1, 0, 1) A C times A D = (7, -5, 1)
O produto escalar é dado por:
A B cdot (A C times A D) = (1)(7) + (0)(-5) + (1)(1) = 7 + 0 + 1 = 8

Passo 5

Por fim, para encontrar o volume do paralelepípedo, pegamos o valor absoluto do produto misto que calculamos:
V = |8| = 8

Resposta

O volume do paralelepípedo é 8 unidades cúbicas.

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