Se u=(3,4,1), v=(2,3,2) e w= (4,2,3) encontre
w cdot(v times u)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem três vetores: u = (3,4,1), v = (2,3,2) e w = (4,2,3). A pergunta quer que a gente ache o produto escalar do vetor w com o produto vetorial dos vetores v e u, ou seja, w cdot (v times u). Para resolver isso, vamos usar as definições de produto vetorial e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial v times u. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula para o produto vetorial de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é:
a times b = ( a2 b3 - a3 b2,; a3 b1 - a1 b3,; a1 b2 - a2 b1 )

Passo 3

Aplicando essa fórmula aos vetores v = (2,3,2) e u = (3,4,1), temos:
v times u = ( 3 cdot 1 - 2 cdot 4,; 2 cdot 3 - 2 cdot 1,; 2 cdot 4 - 3 cdot 3 )
Calculando cada componente:
  • Primeiro componente: 3 cdot 1 - 2 cdot 4 = 3 - 8 = -5
  • Segundo componente: 2 cdot 3 - 2 cdot 1 = 6 - 2 = 4
  • Terceiro componente: 2 cdot 4 - 3 cdot 3 = 8 - 9 = -1
Então, o produto vetorial é:
v times u = (-5, 4, -1)

Passo 4

Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial, vamos calcular o produto escalar com o vetor w = (4,2,3). O produto escalar entre dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3

Passo 5

Aplicando essa fórmula ao nosso caso:
w cdot (v times u) = 4 cdot (-5) + 2 cdot 4 + 3 cdot (-1)
Calculando cada termo:
  • 4 cdot (-5) = -20
  • 2 cdot 4 = 8
  • 3 cdot (-1) = -3
Somando tudo:
-20 + 8 - 3 = -15

Resposta

O valor de w cdot (v times u) é -15.

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Se u=(3,4,1), v=(2,3,2) e w= (4,2,3) encontre
v cdot w
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