e A D=(0, a, 1-a). Encontre a de modo que o volume do paralelepípedo com arestas A B, A C e A D seja 10.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre encontrar o valor de de modo que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e seja igual a 10. A matéria envolvida aqui é geometria vetorial, especificamente o cálculo do volume usando o produto misto dos vetores. Para resolver, vamos precisar dos componentes dos vetores e saber como calcular o produto misto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume V = |u cdot (v times w)| de um paralelepípedo formado por três vetores , , e é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores:
No nosso caso, os vetores são , e .
Passo 3
Vamos calcular o produto misto . Primeiro, precisamos fazer o produto vetorial .
Passo 4
O produto vetorial de dois vetores v times w = (v2w3 - v3w2, v3w1 - v1w3, v1w2 - v2w1) e AC times AD = i & j & k 1 & 2 & 3 0 & a & 1-a = (2(1-a) - 3a, 3(0) - 1(1-a), 1a - 2(0)) é dado por:
AC times AD = (2 - 2a - 3a, - (1 - a), a) = (2 - 5a, a - 1, a)
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar AB cdot (2 - 5a, a - 1, a) = 1 cdot (2 - 5a) + 0 cdot (a - 1) + 1 cdot a = 2 - 5a + 0 + a = 2 - 4a :
Passo 6
O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse produto escalar, que deve ser igual a 10: