Sejam A B=(1,0,1), A C=(1,2,3) e A D=(0, a, 1-a). Encontre a de modo que o volume do paralelepípedo com arestas A B, A C e A D seja 10.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre encontrar o valor de de modo que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e seja igual a 10. A matéria envolvida aqui é geometria vetorial, especificamente o cálculo do volume usando o produto misto dos vetores. Para resolver, vamos precisar dos componentes dos vetores e saber como calcular o produto misto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume V = |u cdot (v times w)| de um paralelepípedo formado por três vetores , , e é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores:
No nosso caso, os vetores são , e .

Passo 3

Vamos calcular o produto misto . Primeiro, precisamos fazer o produto vetorial .

Passo 4

O produto vetorial de dois vetores v times w = (v2w3 - v3w2, v3w1 - v1w3, v1w2 - v2w1) e AC times AD = i & j & k 1 & 2 & 3 0 & a & 1-a = (2(1-a) - 3a, 3(0) - 1(1-a), 1a - 2(0)) é dado por:
AC times AD = (2 - 2a - 3a, - (1 - a), a) = (2 - 5a, a - 1, a)
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar AB cdot (2 - 5a, a - 1, a) = 1 cdot (2 - 5a) + 0 cdot (a - 1) + 1 cdot a = 2 - 5a + 0 + a = 2 - 4a :

Passo 6

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse produto escalar, que deve ser igual a 10:
|2 - 4a| = 10
Isso nos dá duas equações:
2 - 4a = 10 ou 2 - 4a = -10

Passo 7

Resolvendo a primeira equação:
2 - 4a = 10 -4a = 8 a = -2
Agora, a segunda equação:
2 - 4a = -10 -4a = -12 a = 3

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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