Considere . Mostre que B é nilpotente, isto é, que para algum inteiro .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz definida como:
O exercício quer que a gente mostre que essa matriz é nilpotente. Mas o que isso significa? Uma matriz é nilpotente se, ao ser multiplicada por si mesma um certo número de vezes, resulta na matriz zero. Ou seja, existe um número inteiro tal que .
Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e verificar se, após multiplicar por ela mesma algumas vezes, obtemos a matriz zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que é a matriz multiplicada por ela mesma. A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda. Vamos fazer isso passo a passo.
Multiplicando por :
Vamos calcular cada elemento de :
Elemento (1,1):
Elemento (1,2):
Elemento (1,3):
Elemento (2,1):
Elemento (2,2):
Elemento (2,3):
Elemento (3,1):
Elemento (3,2):
Elemento (3,3):

Passo 3

Após calcular todos os elementos, vemos que cada posição em resulta em 0. Então, a matriz fica assim:
Isso significa que, ao multiplicarmos por ela mesma duas vezes, obtemos a matriz zero.

Passo 4

Como , concluímos que é uma matriz nilpotente com . Não precisamos calcular potências maiores, pois já encontramos que o quadrado de é a matriz zero.

Resposta

A matriz é nilpotente porque resulta na matriz zero. Portanto, satisfaz .

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Sejam e . Determine, se possível, a matriz tal que .