Considere B=(ccc1 & -1 & 1 -3 & 3 & -3 -4 & 4 & -4). Mostre que B é nilpotente, isto é, que B^n=0 para algum inteiro n >= 2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz B = 1 & -1 & 1 -3 & 3 & -3 -4 & 4 & -4 definida como:
O exercício quer que a gente mostre que essa matriz é nilpotente. Mas o que isso significa? Uma matriz é nilpotente se, ao ser multiplicada por si mesma um certo número de vezes, resulta na matriz zero. Ou seja, existe um número inteiro tal que .
Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e verificar se, após multiplicar por ela mesma algumas vezes, obtemos a matriz zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular B = 1 & -1 & 1 -3 & 3 & -3 -4 & 4 & -4 , que é a matriz B^2 = B times B = 1 & -1 & 1 -3 & 3 & -3 -4 & 4 & -4 times 1 & -1 & 1 -3 & 3 & -3 -4 & 4 & -4 multiplicada por ela mesma. A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda. Vamos fazer isso passo a passo.
(1 times 1) + (-1 times -3) + (1 times -4) = 1 + 3 - 4 = 0
Multiplicando (1 times -1) + (-1 times 3) + (1 times 4) = -1 - 3 + 4 = 0 por (1 times 1) + (-1 times -3) + (1 times -4) = 1 + 3 - 4 = 0 :
(-3 times 1) + (3 times -3) + (-3 times -4) = -3 - 9 + 12 = 0
Vamos calcular cada elemento de (-3 times -1) + (3 times 3) + (-3 times 4) = 3 + 9 - 12 = 0 :
Elemento (1,1):
(-3 times 1) + (3 times -3) + (-3 times -4) = -3 - 9 + 12 = 0
Elemento (1,2):
(-4 times 1) + (4 times -3) + (-4 times -4) = -4 - 12 + 16 = 0
Elemento (1,3):
(-4 times -1) + (4 times 3) + (-4 times 4) = 4 + 12 - 16 = 0
Elemento (2,1):
(-4 times 1) + (4 times -3) + (-4 times -4) = -4 - 12 + 16 = 0
Elemento (2,2):
Elemento (2,3):
Elemento (3,1):
Elemento (3,2):
Elemento (3,3):

Passo 3

Após calcular todos os elementos, vemos que cada posição em B^2 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 resulta em 0. Então, a matriz fica assim:
Isso significa que, ao multiplicarmos por ela mesma duas vezes, obtemos a matriz zero.

Passo 4

Como , concluímos que é uma matriz nilpotente com . Não precisamos calcular potências maiores, pois já encontramos que o quadrado de é a matriz zero.

Resposta

A matriz B^2 = 0 é nilpotente porque resulta na matriz zero. Portanto, satisfaz .

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