Sejam e vetores em 𝕜.
(b) são L.D. ou L.I?

Passo 1

Vamos resolver a questão que pergunta se os vetores , e são linearmente dependentes (L.D.) ou linearmente independentes (L.I.).
Aqui, estamos lidando com o conteúdo de Álgebra Linear, especificamente com a dependência e independência linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar verificar se existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero, além da solução trivial onde todos os coeficientes são zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa vetores serem linearmente dependentes ou independentes:
  • Linearmente Independentes (L.I.): Não existe nenhuma combinação linear dos vetores que resulte no vetor zero, exceto quando todos os coeficientes são zero.
  • Linearmente Dependentes (L.D.): Existe pelo menos uma combinação linear não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor zero.

Passo 3

Para verificar a dependência ou independência, vamos montar a seguinte equação:
Substituindo os vetores:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. A partir da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo e na segunda equação:
Isso significa que a terceira equação não nos dá nenhuma informação nova, e temos que e .

Passo 5

Podemos escolher um valor para diferente de zero, por exemplo, . Então:
Isso nos dá uma combinação linear não trivial:

Resposta

Os vetores , e são linearmente dependentes (L.D.).

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Sejam e vetores em 𝕜.
© , mostre que são L.I.