Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores no espaço tridimensional: , e . A pergunta é: esses vetores são Linearmente Dependentes (L.D.) ou Linearmente Independentes (L.I.)? Para descobrir isso, vamos usar o conceito de combinação linear e ver se existe uma maneira de um desses vetores ser escrito como uma combinação dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser Linearmente Dependente. Vetores são L.D. se pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, se existir uma equação do tipo onde nem todos os coeficientes , , são zero, então os vetores são L.D.
Passo 3
Para ver se nossos vetores são L.D. ou L.I., vamos montar um sistema de equações a partir da combinação linear igual a zero:
Isso dá o seguinte sistema:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema. Começamos da primeira equação:
Substituímos na segunda equação:
Agora, substituímos e na terceira equação:
Passo 5
A última equação resultou em , que é sempre verdadeira, mas não nos dá informação adicional sobre . Isso significa que existe uma solução não trivial para o sistema (ou seja, existem valores de , , diferentes de zero que satisfazem as equações).
Passo 6
Como encontramos uma solução onde , , não são todos zero (por exemplo, , , ), isso confirma que os vetores são Linearmente Dependentes.