A segunda derivada direcional de
na direção do vetor
é definida por
Use o item anterior para calcular a segunda derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a segunda derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e derivadas direcionais.
Passo 2
Antes de mais nada, precisamos deixar o vetor
como um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Isso é importante porque as derivadas direcionais dependem da direção do vetor, não do seu tamanho.
O comprimento de
é:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
.
Primeira derivada em relação a
:
Primeira derivada em relação a
:
Passo 4
Com as derivadas parciais, podemos calcular a derivada direcional de primeira ordem na direção de
. A fórmula para a derivada direcional é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a segunda derivada direcional, ou seja, a derivada direcional da derivada direcional que acabamos de encontrar. Vamos denotar:
Então, a segunda derivada direcional é:
Passo 6
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Primeira derivada de
em relação a
:
Primeira derivada de
em relação a
:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional para
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, substituímos o ponto
na expressão:
Resposta
A segunda derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é
.
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