A segunda derivada direcional de na direção do vetor é definida por
Use o item anterior para calcular a segunda derivada direcional de no ponto e na direção do vetor .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a segunda derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e derivadas direcionais.

Passo 2

Antes de mais nada, precisamos deixar o vetor como um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Isso é importante porque as derivadas direcionais dependem da direção do vetor, não do seu tamanho.
O comprimento de é:
Então, o vetor unitário é:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função .
Primeira derivada em relação a :
Primeira derivada em relação a :

Passo 4

Com as derivadas parciais, podemos calcular a derivada direcional de primeira ordem na direção de . A fórmula para a derivada direcional é:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a segunda derivada direcional, ou seja, a derivada direcional da derivada direcional que acabamos de encontrar. Vamos denotar:
Então, a segunda derivada direcional é:

Passo 6

Vamos calcular as derivadas parciais de .
Primeira derivada de em relação a :
Primeira derivada de em relação a :

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional para :
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos o ponto na expressão:

Resposta

A segunda derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .

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