Considere A e B como subconjuntos de um conjunto universo U. Mostre que A ⊆ B se e somente se B barra é um subconjunto de A barra.
A diferença simétrica de A e B, indicada por A ⊕ B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A ou B, mas não em ambos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos, e , dentro de um conjunto universo . Queremos provar que se e somente se . Aqui, significa “é subconjunto de” e representa o complemento de em relação a , ou seja, todos os elementos que estão em mas não em . Para resolver isso, vamos usar definições de subconjuntos e complementos, além de propriedades básicas da teoria de conjuntos.

Passo 2

Vamos começar provando a primeira parte: se , então .
Assumimos que . Isso significa que todo elemento que está em também está em . Agora, vamos considerar os complementos. Se um elemento não está em ( ), então, como , esse elemento também não pode estar em ( ). Portanto, todo elemento de está também em , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos provar a outra direção: se , então .
Assumimos que . Queremos mostrar que todo elemento de também está em . Suponha, por contradição, que exista um elemento que está em mas não em . Isso significa que estaria em . Mas, como , deveria estar em , o que contradiz o fato de estar em . Portanto, não pode existir tal elemento , e assim .

Resposta

Concluímos que se e somente se .

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