Considere
e
como subconjuntos de um conjunto universo
. Mostre que
se e somente se
.
A diferença simétrica de
e
, indicada por
, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em
ou
, mas não em ambos.
A diferença simétrica de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos,
e
, dentro de um conjunto universo
. Queremos provar que
se e somente se
. Aqui,
significa “é subconjunto de” e
representa o complemento de
em relação a
, ou seja, todos os elementos que estão em
mas não em
. Para resolver isso, vamos usar definições de subconjuntos e complementos, além de propriedades básicas da teoria de conjuntos.
Passo 2
Vamos começar provando a primeira parte: se
, então
.
Assumimos que
. Isso significa que todo elemento que está em
também está em
. Agora, vamos considerar os complementos. Se um elemento não está em
(
), então, como
, esse elemento também não pode estar em
(
). Portanto, todo elemento de
está também em
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos provar a outra direção: se
, então
.
Assumimos que
. Queremos mostrar que todo elemento de
também está em
. Suponha, por contradição, que exista um elemento
que está em
mas não em
. Isso significa que
estaria em
. Mas, como
,
deveria estar em
, o que contradiz o fato de
estar em
. Portanto, não pode existir tal elemento
, e assim
.
Resposta
Concluímos que
se e somente se
.
Exercícios relacionados
Desenhe o diagrama de Venn para cada uma das combinações abaixo dos conjuntos
e
.
Considere
e
. Encontre
.
Obtenha o que se pede.
Considere os pontos e
. Encontre a derivada direcional da função
na direção da bissetriz do ângulo
.
Considere os pontos
Mostre que
.