Considere B=v, u, w uma base do R^3, onde v=(1,2,3), u=(2,5,3) e w=(1,0,1).
Encontre uma base e a dimensão da Im(T).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Você tem uma base do espaço , onde:
O objetivo aqui é encontrar uma base para a imagem de uma transformação linear (denotada por ) e determinar a dimensão dessa imagem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como base, transformação linear e imagem de uma transformação.

Passo 2

Primeiro, é importante entender que uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. No caso, é uma base de , o que significa que os vetores e são linearmente independentes e qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear deles.

Passo 3

A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a vetores de . Se assumirmos que é definida por , ou seja, os vetores da base são imagens dos vetores canônicos, então a imagem de será exatamente o espaço gerado por .

Passo 4

Como é uma base de , isso quer dizer que:
  • Os vetores geram , ou seja, .
  • A dimensão de é o número de vetores na base, que nesse caso é 3.

Resposta

Uma base da é e a dimensão de é 3.

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