Considere
uma base do
, onde
e
.
Encontre uma base e a dimensão da
.
Encontre uma base e a dimensão da
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Você tem uma base
do espaço
, onde:
O objetivo aqui é encontrar uma base para a imagem de uma transformação linear
(denotada por
) e determinar a dimensão dessa imagem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como base, transformação linear e imagem de uma transformação.
Passo 2
Primeiro, é importante entender que uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. No caso,
é uma base de
, o que significa que os vetores
e
são linearmente independentes e qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear deles.
Passo 3
A imagem de uma transformação linear
é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a vetores de
. Se assumirmos que
é definida por
, ou seja, os vetores da base são imagens dos vetores canônicos, então a imagem de
será exatamente o espaço gerado por
.
Passo 4
Como
é uma base de
, isso quer dizer que:
- Os vetores
geram , ou seja, . - A dimensão de
é o número de vetores na base, que nesse caso é 3.
Resposta
Uma base da
é
e a dimensão de
é 3.