Considere a transformação linear T: R^2 Mat2 times 1(R) tal que T(x, y)=(ll1 & 2 0 & 3) cdotbinomxy.
Determine T(1,1), T(-3,4) e T(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com transformações lineares, que é um conceito da álgebra linear. A transformação que a gente tem aqui, , pega um vetor de e transforma ele em uma matriz . Para resolver isso, vamos precisar multiplicar a matriz dada pela coluna dos valores que a gente quer transformar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular T(x, y) = 1 & 2 0 & 3 cdot x y . A transformação é definida por:
T(1, 1) = 1 & 2 0 & 3 cdot 1 1
Substituindo T(1, 1) = (1 times 1) + (2 times 1) (0 times 1) + (3 times 1) = 3 3 e :
Fazendo a multiplicação:

Passo 3

Agora, vamos calcular T(-3, 4) = 1 & 2 0 & 3 cdot -3 4 . Usando a mesma transformação:
T(-3, 4) = (1 times -3) + (2 times 4) (0 times -3) + (3 times 4) = -3 + 8 0 + 12 = 5 12
Multiplicando:

Passo 4

Por fim, vamos determinar T(x, y) = 1 & 2 0 & 3 cdot x y de forma geral. Usando a transformação:
T(x, y) = 1 times x + 2 times y 0 times x + 3 times y = x + 2y 3y
Realizando a multiplicação:

Resposta

T(1, 1) = 3 3 , T(-3, 4) = 5 12 , T(x, y) = x + 2y 3y

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