Considere a matriz
A=(ccc 5 & -4 & -2 -4 & 5 & 2 -2 & 2 & 2 )
Sabendo que lambda=5 é autovalor de A e v=(1,1,0) é autovetor de A,
(a) Encontre uma base ortogonal de R^3 que contenha v.
(b) Diagonalize A por matriz ortogonal. Por que isso é possível? Justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz de ordem 3 e sabemos que é um autovalor de com o autovetor associado . O conteúdo envolve álgebra linear, especificamente autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de ortogonalidade e propriedades de matrizes simétricas.

Passo 2

Parte (a): Queremos encontrar uma base ortogonal de v cdot w = 1 cdot 1 + 1 cdot (-1) + 0 cdot 0 = 0 que inclua o vetor v = (1, 1, 0), w = (1, -1, 0), u = (0, 0, 1) .
Primeiro, vamos encontrar outros vetores que sejam ortogonais a . Para isso, podemos usar o método de Gram-Schmidt ou identificar vetores que satisfazem o produto escalar zero com .
Vamos supor que . Verificamos a ortogonalidade:
Portanto, é ortogonal a .
Agora, precisamos de um terceiro vetor que seja ortogonal tanto a quanto a . Vamos escolher , que é claramente ortogonal aos dois anteriores.
Assim, a base ortogonal é:

Passo 3

Parte (b): Agora, queremos diagonalizar a matriz Q^T A Q = D usando uma matriz ortogonal. Isso é possível porque é uma matriz simétrica.
Matrizes simétricas têm a propriedade de serem diagonalizáveis por uma matriz ortogonal, ou seja, existe uma matriz ortogonal tal que:
onde é uma matriz diagonal cujo elementos são os autovalores de .
Como já encontramos uma base ortogonal formada pelos autovetores de , podemos construir a matriz usando esses vetores como colunas. Então, a diagonalização de será feita dessa maneira.

Resposta

(a) Uma base ortogonal de (1, 1, 0), (1, -1, 0), (0, 0, 1) que contém é:
(b) A matriz pode ser diagonalizada por uma matriz ortogonal porque é simétrica. Assim, existe uma matriz ortogonal tal que é diagonal.

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