A matriz é simétrica e tem autovalores . Sabemos que e são autovetores de . Determine essa matriz. Ela é ortogonal?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que é simétrica e possui os autovalores . Além disso, sabemos que os vetores e são autovetores de . Nosso objetivo é determinar essa matriz e verificar se ela é ortogonal. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores e propriedades de matrizes simétricas e ortogonais.
Passo 2
Primeiro, como é simétrica, sabemos que os autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais entre si. Os autovalores dados são , então o vetor associado ao autovalor deve ser ortogonal aos vetores associados aos autovalores .
Passo 3
Vamos identificar os autovalores e os autovetores. Sabemos que:
é um autovetor com autovalor .
é um autovetor com autovalor .
Como é simétrica e tem autovalores repetidos, podemos encontrar um terceiro autovetor que também corresponde ao autovalor e que é ortogonal a .
Passo 4
Vamos encontrar um vetor que seja ortogonal a e que possa servir como terceiro autovetor. Um vetor ortogonal a pode ser , porque:
Portanto, é o terceiro autovetor com autovalor .
Passo 5
Agora que temos os autovalores e os três autovetores, podemos construir a matriz usando a soma de matrizes de projeção. A fórmula geral para uma matriz simétrica com autovalores distintos é: