A matriz A é simétrica e tem autovalores 1,-1,-1. Sabemos que (1,1,0) e (1,0,1) são autovetores de A. Determine essa matriz. Ela é ortogonal?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que é simétrica e possui os autovalores . Além disso, sabemos que os vetores e são autovetores de . Nosso objetivo é determinar essa matriz e verificar se ela é ortogonal. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores e propriedades de matrizes simétricas e ortogonais.

Passo 2

Primeiro, como é simétrica, sabemos que os autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais entre si. Os autovalores dados são , então o vetor associado ao autovalor deve ser ortogonal aos vetores associados aos autovalores .

Passo 3

Vamos identificar os autovalores e os autovetores. Sabemos que:
  • é um autovetor com autovalor .
  • é um autovetor com autovalor .
Como é simétrica e tem autovalores repetidos, podemos encontrar um terceiro autovetor que também corresponde ao autovalor e que é ortogonal a .

Passo 4

Vamos encontrar um vetor que seja ortogonal a (1,0,1) cdot (0,1,0) = 1 times 0 + 0 times 1 + 1 times 0 = 0 e que possa servir como terceiro autovetor. Um vetor ortogonal a pode ser , porque:
Portanto, é o terceiro autovetor com autovalor .

Passo 5

Agora que temos os autovalores e os três autovetores, podemos construir a matriz A = lambda1 v1 v1^T + lambda2 v2 v2^T + lambda3 v3 v3^T usando a soma de matrizes de projeção. A fórmula geral para uma matriz simétrica com autovalores distintos é:
onde são os autovetores unitários.

Passo 6

Primeiro, vamos normalizar os autovetores:
v1 = 1raiz2 1 1 0 , v2 = 1raiz2 1 0 1 , v3 = 0 1 0

Passo 7

Agora, calculamos cada termo da soma:
lambda1 v1 v1^T = 1 times 12 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 = 12 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0
lambda2 v2 v2^T = -1 times 12 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1 = -12 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1
lambda3 v3 v3^T = -1 times 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 = 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0

Passo 8

Somando essas matrizes:
A = 12 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 - 12 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1 + 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0
A = 12 - 12 + 0 & 12 - 0 + 0 & 0 - 12 + 0 12 - 0 + 0 & 12 - 0 - 1 & 0 - 0 + 0 0 - 12 + 0 & 0 - 0 + 0 & 0 - 12 + 0
A = 0 & 12 & -12 12 & -12 & 0 -12 & 0 & -12

Passo 9

Agora, vamos verificar se a matriz A^T = 0 & 12 & -12 12 & -12 & 0 -12 & 0 & -12 é ortogonal. Uma matriz A^T A = 0 & 12 & -12 12 & -12 & 0 -12 & 0 & -12 0 & 12 & -12 12 & -12 & 0 -12 & 0 & -12 é ortogonal se satisfaz A^T A neq I , onde é a matriz identidade. Calculando :
Fazendo as multiplicações:
Portanto, não é uma matriz ortogonal.

Resposta

A matriz A = 0 & 12 & -12 12 & -12 & 0 -12 & 0 & -12 é:
E ela não é ortogonal.

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