Considere o plano W: x-y+z=0 e P: R^3 R^3 a transformação linear dado por P(r)=projW r.
(a) Encontre uma base beta=v1, v2, v3 ortogonal de R^3 com v1, v2 in W.
(b) Determine [v]beta, onde v=(x, y, z) in R^3. Além disso, calcule [P]epsilon^beta, onde epsilon é a base canônica do R^3. Por que essa matriz é simétrica?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem que trabalhar com um plano no espaço tridimensional, especificamente o plano . Além disso, temos uma transformação linear que projeta qualquer vetor nesse plano .
Conteúdo envolvido:
  • Bases ortogonais em
  • Projeção de vetores em um subespaço
  • Representação matricial de transformações lineares
Vamos precisar entender como encontrar vetores que estão no plano e como construir uma base ortogonal para . Também vamos utilizar conceitos de projeção vetorial e matrizes de transformação.

Passo 2

Parte (a): Encontrar uma base ortogonal 1 - 1 + 0 = 0 (está em W) de 0 - 1 + 1 = 0 (está em W) com v1 cdot v2 = (1)(0) + (1)(1) + (0)(1) = 1 neq 0 .
Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano u2 = v2 - v2 cdot u1u1 cdot u1 u1 . Como u2 = (0,1,1) - 12(1,1,0) = (0 - 12, 1 - 12, 1 - 0) = (-12, 12, 1) é definido por , qualquer vetor que satisfaz essa equação está nesse plano.
Vamos escolher . Verificando:
á
Escolhemos . Verificando:
á
Agora, precisamos de um terceiro vetor que seja ortogonal aos dois primeiros e que não esteja em . Observamos que o vetor normal ao plano é , pois é perpendicular a qualquer vetor no plano.
Para garantir que nossa base seja ortogonal, vamos verificar se os vetores são perpendiculares entre si. Calculando os produtos internos:
Como não são ortogonais, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar e .
Vamos deixar .
Agora, calculamos:
Primeiro,
E
Então:
Agora, nossa base ortogonal é .

Passo 3

Parte (b): Determinar v = c1 u1 + c2 u2 + c3 v3 , onde ci = v cdot uiui cdot ui para i = 1, 2 , e calcular . Além disso, explicar por que essa matriz é simétrica.
Primeiro, vamos entender que representa as coordenadas do vetor na base .
Como , temos:
Para encontrar os coeficientes , usamos o produto interno, já que a base é ortogonal:
E será a componente na direção de .
Agora, para encontrar a matriz de transformação , lembramos que a projeção em um subespaço é uma transformação linear que pode ser representada por uma matriz. Como é a projeção no plano , e nossa base é ortogonal, a matriz será simétrica porque a projeção preserva as direções na base ortogonal sem distorcer os ângulos entre os vetores.

Resposta

(a) Uma base ortogonal de com é .
(b) As coordenadas de na base são , onde e são calculados via produto interno conforme Gram-Schmidt. A matriz da transformação na base é simétrica porque a projeção em uma base ortogonal preserva a simetria nos produtos internos.

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