Considere o plano
e
a transformação linear dado por
.
(a) Encontre uma base
ortogonal de
com
.
(b) Determine
, onde
. Além disso, calcule
, onde
é a base canônica do
. Por que essa matriz é simétrica?
(a) Encontre uma base
(b) Determine
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem que trabalhar com um plano no espaço tridimensional, especificamente o plano
. Além disso, temos uma transformação linear
que projeta qualquer vetor
nesse plano
.
Conteúdo envolvido:
- Bases ortogonais em
- Projeção de vetores em um subespaço
- Representação matricial de transformações lineares
Vamos precisar entender como encontrar vetores que estão no plano
e como construir uma base ortogonal para
. Também vamos utilizar conceitos de projeção vetorial e matrizes de transformação.
Passo 2
Parte (a): Encontrar uma base ortogonal
de
com
.
Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano
. Como
é definido por
, qualquer vetor
que satisfaz essa equação está nesse plano.
Vamos escolher
. Verificando:
Escolhemos
. Verificando:
Agora, precisamos de um terceiro vetor que seja ortogonal aos dois primeiros e que não esteja em
. Observamos que o vetor normal ao plano
é
, pois é perpendicular a qualquer vetor no plano.
Para garantir que nossa base seja ortogonal, vamos verificar se os vetores são perpendiculares entre si. Calculando os produtos internos:
Como não são ortogonais, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar
e
.
Vamos deixar
.
Agora, calculamos:
Primeiro,
E
Então:
Agora, nossa base ortogonal é
.
Passo 3
Parte (b): Determinar
, onde
, e calcular
. Além disso, explicar por que essa matriz é simétrica.
Primeiro, vamos entender que
representa as coordenadas do vetor
na base
.
Como
, temos:
Para encontrar os coeficientes
, usamos o produto interno, já que a base é ortogonal:
E
será a componente na direção de
.
Agora, para encontrar a matriz de transformação
, lembramos que a projeção em um subespaço é uma transformação linear que pode ser representada por uma matriz. Como
é a projeção no plano
, e nossa base
é ortogonal, a matriz será simétrica porque a projeção preserva as direções na base ortogonal sem distorcer os ângulos entre os vetores.
Resposta
(a) Uma base ortogonal de
com
é
.
(b) As coordenadas de
na base
são
, onde
e
são calculados via produto interno conforme Gram-Schmidt. A matriz da transformação
na base
é simétrica porque a projeção em uma base ortogonal preserva a simetria nos produtos internos.