Considere B=v, u, w uma base do R^3, onde v=(1,2,3), u=(2,5,3) e w=(1,0,1).
Ache uma fórmula para a transformação linear T: R^3 R^2 tal que T(v)=(1,0), T(u)=(1,0) e T(w)=(0,1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma base v = (1, 2, 3), u = (2, 5, 3), w = (1, 0, 1) do espaço T(v) = (1, 0), T(u) = (1, 0), T(w) = (0, 1) , onde:
Queremos encontrar uma fórmula para a transformação linear que satisfaz:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Como x = a cdot v + b cdot u + c cdot w é uma base de , qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja:
onde são escalares.

Passo 3

Aplicando a transformação linear T(x) = T(a cdot v + b cdot u + c cdot w) = a cdot T(v) + b cdot T(u) + c cdot T(w) em T(x) = a cdot (1, 0) + b cdot (1, 0) + c cdot (0, 1) = (a + b, c) :
Substituindo os valores dados:
Então, a transformação depende dos coeficientes e para a primeira coordenada e de para a segunda coordenada.

Passo 4

Para expressar x1 = a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot 1 x2 = a cdot 2 + b cdot 5 + c cdot 0 x3 = a cdot 3 + b cdot 3 + c cdot 1 em termos das coordenadas de a + 2b + c = x1 2a + 5b = x2 3a + 3b + c = x3 , precisamos encontrar os valores de em função de .
Desenvolvendo a equação , temos:
Isso pode ser representado como um sistema linear:

Passo 5

Vamos resolver o sistema para encontrar 2a + 5b = x2 Rightarrow a = x2 - 5b2 em termos de x2 - 5b2 + 2b + c = x1 Rightarrow x2 - 5b + 4b + 2c2 = x1 .
Primeiro, da segunda equação:
x2 - b + 2c2 = x1 Rightarrow x2 - b + 2c = 2x1
Substituindo b = x2 + 2c - 2x1 na primeira equação:
3(x2 - 5b2) + 3b + c = x3
Simplificando:
3(x2 - 5b) + 6b + 2c = 2x3
Isolando 3x2 - 15b + 6b + 2c = 2x3 Rightarrow 3x2 - 9b + 2c = 2x3 :
3x2 - 9(x2 + 2c - 2x1) + 2c = 2x3
Agora, substituindo 3x2 - 9x2 - 18c + 18x1 + 2c = 2x3 e -6x2 - 16c + 18x1 = 2x3 na terceira equação:
-16c = 2x3 + 6x2 - 18x1 Rightarrow c = -2x3 - 6x2 + 18x116 = -x3 - 3x2 + 9x18
Multiplicando por 2 para eliminar o denominador:
Distribuindo:
Substituindo :
Distribuindo o -9:
Combinando termos semelhantes:
Isolando :

Passo 6

Agora que temos b = x2 + 2c - 2x1 = x2 + 2(-x3 - 3x2 + 9x18) - 2x1 em termos de b = x2 + -2x3 - 6x2 + 18x18 - 2x1 = 8x2 - 2x3 - 6x2 + 18x1 - 16x18 = 2x2 - 2x3 + 2x18 = x1 + x2 - x34 , substituímos de volta para encontrar a = x2 - 5b2 = x2 - 5(x1 + x2 - x34)2 = 4x2 - 5x1 - 5x2 + 5x38 = -5x1 - x2 + 5x38 :
Simplificando:
E finalmente, substituindo para encontrar :

Passo 7

Agora que temos T(x) = (a + b, c) e T(x) = (-5x1 - x2 + 5x38 + x1 + x2 - x34, -x3 - 3x2 + 9x18) em termos de -5x1 - x2 + 5x38 + 2x1 + 2x2 - 2x38 = -3x1 + x2 + 3x38 , podemos escrever a transformação T(x) = (-3x1 + x2 + 3x38, 9x1 - 3x2 - x38) :
Substituindo:
Simplificando a primeira coordenada:
Portanto:

Resposta

A fórmula da transformação linear T(x1, x2, x3) = ( -3x1 + x2 + 3x38, 9x1 - 3x2 - x38 ) é:

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