Considere
uma base do
, onde
e
.
Ache uma fórmula para a transformação linear
tal que
e
.
Ache uma fórmula para a transformação linear
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma base
do espaço
, onde:
Queremos encontrar uma fórmula para a transformação linear
que satisfaz:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Como
é uma base de
, qualquer vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja:
onde
são escalares.
Passo 3
Aplicando a transformação linear
em
:
Substituindo os valores dados:
Então, a transformação
depende dos coeficientes
e
para a primeira coordenada e de
para a segunda coordenada.
Passo 4
Para expressar
em termos das coordenadas de
, precisamos encontrar os valores de
em função de
.
Desenvolvendo a equação
, temos:
Isso pode ser representado como um sistema linear:
Passo 5
Vamos resolver o sistema para encontrar
2a + 5b = x2 Rightarrow a = x2 - 5b2 em termos de
x2 - 5b2 + 2b + c = x1 Rightarrow x2 - 5b + 4b + 2c2 = x1 .
Primeiro, da segunda equação:
Substituindo
b = x2 + 2c - 2x1 na primeira equação:
Simplificando:
Isolando
3x2 - 15b + 6b + 2c = 2x3 Rightarrow 3x2 - 9b + 2c = 2x3 :
Agora, substituindo
3x2 - 9x2 - 18c + 18x1 + 2c = 2x3 e
-6x2 - 16c + 18x1 = 2x3 na terceira equação:
Multiplicando por 2 para eliminar o denominador:
Distribuindo:
Substituindo
:
Distribuindo o -9:
Combinando termos semelhantes:
Isolando
:
Passo 6
Agora que temos
b = x2 + 2c - 2x1 = x2 + 2(-x3 - 3x2 + 9x18) - 2x1 em termos de
b = x2 + -2x3 - 6x2 + 18x18 - 2x1 = 8x2 - 2x3 - 6x2 + 18x1 - 16x18 = 2x2 - 2x3 + 2x18 = x1 + x2 - x34 , substituímos de volta para encontrar
a = x2 - 5b2 = x2 - 5(x1 + x2 - x34)2 = 4x2 - 5x1 - 5x2 + 5x38 = -5x1 - x2 + 5x38 :
Simplificando:
E finalmente, substituindo
para encontrar
:
Passo 7
Agora que temos
T(x) = (a + b, c) e
T(x) = (-5x1 - x2 + 5x38 + x1 + x2 - x34, -x3 - 3x2 + 9x18) em termos de
-5x1 - x2 + 5x38 + 2x1 + 2x2 - 2x38 = -3x1 + x2 + 3x38 , podemos escrever a transformação
T(x) = (-3x1 + x2 + 3x38, 9x1 - 3x2 - x38) :
Substituindo:
Simplificando a primeira coordenada:
Portanto:
Resposta
A fórmula da transformação linear
T(x1, x2, x3) = ( -3x1 + x2 + 3x38, 9x1 - 3x2 - x38 ) é: