Seja o operador linear no tal que . Mostre que é um isomorfismo e indique sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o operador linear definido por que atua no espaço é um isomorfismo. Além disso, a gente precisa encontrar a inversa desse operador. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e propriedades de operadores lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo. Um operador linear é um isomorfismo se ele for bijetivo, ou seja, se for injetor e sobrejetor. Na prática, para espaços de mesma dimensão como , basta mostrarmos que o operador é injetor (ou, alternativamente, que é sobrejetor) para garantir que seja um isomorfismo.
Passo 3
Para verificar se é injetor, vamos representar o operador por uma matriz e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível, e consequentemente, é um isomorfismo.
A matriz de é formada pelas imagens dos vetores da base canônica:
Como , a matriz é invertível. Portanto, é um isomorfismo.
Passo 5
Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) = adj(A) é um isomorfismo, vamos encontrar sua inversa adj(A) = 1 & -2 & 0 0 & 1 & 0 -1 & 2 & 1 . Para isso, precisamos encontrar a matriz inversa A^-1 = 1 & -2 & 0 0 & 1 & 0 -1 & 2 & 1 e usá-la para determinar .
Como , a inversa de pode ser calculada usando a fórmula da matriz adjunta dividida pelo determinante:
Vamos calcular a adjunta de :
Portanto, a matriz inversa é:
Passo 6
Com a matriz inversa T^-1(u, v, w) = A^-1 u v w = 1 & -2 & 0 0 & 1 & 0 -1 & 2 & 1 u v w = u - 2v v - u + 2v + w , podemos definir a inversa do operador . Se , então será dado por:
Resposta
O operador T^-1(u, v, w) = (u - 2v, , v, , -u + 2v + w) é um isomorfismo e sua inversa é dada por: