(1,0 ponto) Verifique se os vetores u=(1,2), v=(2,-2) podem ser base de R^2 (b) Em caso afirmativo, demonstre algebricamente como são gerados os vetores; © Demonstre o item anterior através do vetor (3,4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer saber se os vetores u = (1, 2) e v = (2, -2) podem formar uma base para R^2. Isso pertence ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre bases e independência linear. Para resolver isso, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e se conseguem gerar todo o espaço R^2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em Álgebra Linear, uma base de um espaço vetorial como R^2 é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor em R^2 pode ser escrito como combinação linear desses vetores.

Passo 3

Para verificar se u e v são linearmente independentes, vamos montar uma combinação linear igual a zero e ver se a única solução é trivial (todos os coeficientes iguais a zero). Ou seja, queremos encontrar escalares a e b tais que:
au + bv = 0

Passo 4

Substituindo os vetores:
a(1, 2) + b(2, -2) = (0, 0)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + 2b = 0 2a - 2b = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
a = -2b
Substituindo na segunda equação:
2(-2b) - 2b = 0 -4b - 2b = 0 -6b = 0 b = 0
E então, a = -2(0) = 0.

Passo 6

Como a única solução é a = 0 e b = 0, isso significa que os vetores u e v são linearmente independentes. Além disso, como estamos em R^2 e temos dois vetores independentes, eles também geram todo o espaço R^2. Portanto, u e v formam uma base para R^2.

Passo 7

Agora, vamos demonstrar que o vetor (3, 4) pode ser gerado por uma combinação linear de u e v. Procuramos escalares a e b tais que:
a(1, 2) + b(2, -2) = (3, 4)
Isso resulta no sistema de equações:
a + 2b = 3 2a - 2b = 4
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
a = 3 - 2b
Substituindo na segunda equação:
2(3 - 2b) - 2b = 4 6 - 4b - 2b = 4 6 - 6b = 4 -6b = -2 b = 13
E então:
a = 3 - 2(13) = 3 - 23 = 73

Resposta

Sim, os vetores u = (1, 2) e v = (2, -2) formam uma base para R^2. Além disso, o vetor (3, 4) pode ser gerado como combinação linear desses vetores com a = 73 e b = 13, ou seja:
73u + 13v = (3, 4)

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