(1,0 ponto) Verifique se os vetores
podem ser base de
(b) Em caso afirmativo, demonstre algebricamente como são gerados os vetores; © Demonstre o item anterior através do vetor
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer saber se os vetores
e
podem formar uma base para
. Isso pertence ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre bases e independência linear. Para resolver isso, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e se conseguem gerar todo o espaço
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em Álgebra Linear, uma base de um espaço vetorial como
é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor em
pode ser escrito como combinação linear desses vetores.
Passo 3
Para verificar se
e
são linearmente independentes, vamos montar uma combinação linear igual a zero e ver se a única solução é trivial (todos os coeficientes iguais a zero). Ou seja, queremos encontrar escalares
e
tais que:
Passo 4
Substituindo os vetores:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
E então,
.
Passo 6
Como a única solução é
e
, isso significa que os vetores
e
são linearmente independentes. Além disso, como estamos em
e temos dois vetores independentes, eles também geram todo o espaço
. Portanto,
e
formam uma base para
.
Passo 7
Agora, vamos demonstrar que o vetor
pode ser gerado por uma combinação linear de
e
. Procuramos escalares
e
tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
E então:
Resposta
Sim, os vetores
e
formam uma base para
. Além disso, o vetor
pode ser gerado como combinação linear desses vetores com
e
, ou seja: