Considere B=v, u, w uma base do R^3, onde v=(1,2,3), u=(2,5,3) e w=(1,0,1).
Encontre uma base e a dimensão do N(T).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear. A gente recebe uma base do espaço , onde os vetores são , e . A pergunta é para encontrar uma base e a dimensão do núcleo de uma transformação linear , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todos os vetores no domínio tal que . A dimensão do núcleo, também conhecida como nulidade, nos diz o tamanho desse conjunto.

Passo 3

Como é uma base de , isso significa que os vetores são linearmente independentes. Em termos de transformações lineares representadas por matrizes, isso implica que a matriz que tem como colunas é invertível.

Passo 4

Se a matriz que representa a transformação tem colunas que formam uma base de , então é uma matriz invertível. Isso significa que a única solução para é .

Passo 5

Portanto, o núcleo só contém o vetor nulo, ou seja, .

Resposta

Uma base para é o conjunto vazio e a dimensão de é 0.

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