Sejam S e T operadores lineares no R^2 definidas por S(x, y)=(x+2 y, y) e T(x, y)=(x, 3 y). Determine:
S+T

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente somar dois operadores lineares, o e o , que atuam no . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre operadores lineares. Para resolver, vamos precisar entender como somar esses operadores aplicando cada um nos vetores e depois somando os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador linear. Um operador linear S(x, y) = (x + 2y, y) em T(x, y) = (x, 3y) é uma função que transforma um vetor em outro vetor . No nosso caso:

Passo 3

Agora, para somar os operadores (S + T)(x, y) = S(x, y) + T(x, y) e , usamos a definição de soma de operadores lineares. A soma é um novo operador que, para qualquer vetor , é dado por:
Ou seja, somamos as componentes resultantes de cada operador.

Passo 4

Vamos aplicar isso aos nossos operadores:
S(x, y) = (x + 2y, y)
T(x, y) = (x, 3y)
Somando as componentes correspondentes:
S(x, y) + T(x, y) = (x + 2y + x, y + 3y)

Passo 5

Simplificando as somas:
S(x, y) + T(x, y) = (2x + 2y, 4y)
Então, o operador transforma o vetor no vetor .

Resposta

O operador (S + T)(x, y) = (2x + 2y, 4y) é dado por:

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