Considere que uma barata esteja na extremidade de um disco de raio .
O disco e a barata estão girando com velocidade angula . A barata então se desloca para uma posição em direção ao centro de rotação (R/2).
(b) Qual a razão entre a energia cinética final e inicial do sistema?

Passo 1

Vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um disco com raio e uma barata na sua borda. Ambos estão girando com uma velocidade angular inicial . A barata decide se mover para o centro, especificamente para uma distância do centro. Precisamos descobrir qual é a razão entre a energia cinética final e a inicial do sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia cinética em rotação e momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética de um objeto em rotação é dada por:
onde é o momento de inércia e é a velocidade angular.

Passo 3

Vamos calcular o momento de inércia inicial . O momento de inércia de um disco (sem considerar a barata) é:
onde é a massa do disco. A barata pode ser considerada como um ponto de massa na borda do disco, então seu momento de inércia é:
Portanto, o momento de inércia total inicial é:

Passo 4

Agora, a barata se move para uma distância do centro. O novo momento de inércia da barata será:
Então, o momento de inércia total final é:

Passo 5

Assumimos que não há torque externo agindo no sistema, então o momento angular é conservado. O momento angular antes ( ) e depois ( ) é:
Dessa forma, podemos encontrar a velocidade angular final :

Passo 6

Agora, vamos calcular a energia cinética inicial e final :

Passo 7

A razão entre a energia cinética final e a inicial é:
Substituindo os valores de e :

Resposta

A razão entre a energia cinética final e inicial do sistema é .

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b) encontre a aceleração do sistema;
Máquina de Atwood, polia com massa. Considere a figura ao lado onde e a polia com massa e raio . Dado que o mento de inércia do disco é dado por e a corda ideal que liga os dois blocos não desliza na polia, faz a polia girar. Considerando que o sistema é liberto a partir do repouso calcule:
a) escreva as equações de movimento dos dois blocos e da polia;
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