Considere que uma barata esteja na extremidade de um disco de raio R.
O disco e a barata estão girando com velocidade angula omegai. A barata então se desloca para uma posição em direção ao centro de rotação (R/2).
(b) Qual a razão entre a energia cinética final e inicial do sistema?

Passo 1

Vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um disco com raio e uma barata na sua borda. Ambos estão girando com uma velocidade angular inicial . A barata decide se mover para o centro, especificamente para uma distância do centro. Precisamos descobrir qual é a razão entre a energia cinética final e a inicial do sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia cinética em rotação e momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética de um objeto em rotação é dada por:
Ec = 12 I omega^2
onde é o momento de inércia e é a velocidade angular.

Passo 3

Vamos calcular o momento de inércia inicial Idisco = 12 M R^2 . O momento de inércia de um disco (sem considerar a barata) é:
Ibarata, inicial = m R^2
onde Ii = 12 M R^2 + m R^2 é a massa do disco. A barata pode ser considerada como um ponto de massa na borda do disco, então seu momento de inércia é:
Portanto, o momento de inércia total inicial é:

Passo 4

Agora, a barata se move para uma distância Ibarata, final = m ( R2 )^2 = m R^24 do centro. O novo momento de inércia da barata será:
If = 12 M R^2 + m R^24
Então, o momento de inércia total final é:

Passo 5

Assumimos que não há torque externo agindo no sistema, então o momento angular é conservado. O momento angular antes ( Li = Ii omegai = If omegaf ) e depois ( omegaf = IiIf omegai ) é:
Dessa forma, podemos encontrar a velocidade angular final :

Passo 6

Agora, vamos calcular a energia cinética inicial Eci = 12 Ii omegai^2 e final Ecf = 12 If omegaf^2 = 12 If ( IiIf omegai )^2 = 12 Ii^2If omegai^2 :

Passo 7

A razão entre a energia cinética final e a inicial é:
EcfEci = 12 Ii^2If omegai^212 Ii omegai^2 = IiIf
Substituindo os valores de EcfEci = 12 M R^2 + m R^212 M R^2 + m R^24 = 12 M + m12 M + m4 = 2M + 4m2M + m e :

Resposta

A razão entre a energia cinética final e inicial do sistema é .

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