Considere que uma barata esteja na extremidade de um disco de raio
.
O disco e a barata estão girando com velocidade angula
. A barata então se desloca para uma posição em direção ao centro de rotação (R/2).
(b) Qual a razão entre a energia cinética final e inicial do sistema?
O disco e a barata estão girando com velocidade angula
(b) Qual a razão entre a energia cinética final e inicial do sistema?
Passo 1
Vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um disco com raio
e uma barata na sua borda. Ambos estão girando com uma velocidade angular inicial
. A barata decide se mover para o centro, especificamente para uma distância
do centro. Precisamos descobrir qual é a razão entre a energia cinética final e a inicial do sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia cinética em rotação e momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética de um objeto em rotação é dada por:
onde
é o momento de inércia e
é a velocidade angular.
Passo 3
Vamos calcular o momento de inércia inicial
. O momento de inércia de um disco (sem considerar a barata) é:
onde
é a massa do disco. A barata pode ser considerada como um ponto de massa
na borda do disco, então seu momento de inércia é:
Portanto, o momento de inércia total inicial é:
Passo 4
Agora, a barata se move para uma distância
do centro. O novo momento de inércia da barata será:
Então, o momento de inércia total final é:
Passo 5
Assumimos que não há torque externo agindo no sistema, então o momento angular é conservado. O momento angular antes (
) e depois (
) é:
Dessa forma, podemos encontrar a velocidade angular final
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a energia cinética inicial
e final
:
Passo 7
A razão entre a energia cinética final e a inicial é:
Substituindo os valores de
e
:
Resposta
A razão entre a energia cinética final e inicial do sistema é
.