Questão: - uma esfera sólida de peso igual a sobe rolando um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação é igual a . Na base do plano, o centro de massa da esfera tem uma velocidade linear de .
(a) Qual é a energia cinética da esfera na base do plano inclinado?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma esfera sólida que está rolando por um plano inclinado. A pergunta é: qual é a energia cinética da esfera na base do plano? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia cinética de objetos em movimento de translação e rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética total de um objeto que está rolando é a soma da energia cinética de seu movimento linear (translação) e da energia cinética de sua rotação. A fórmula geral para a energia cinética total (KE) é:
onde:
  • (energia cinética de translação)
  • (energia cinética de rotação)

Passo 3

Sabemos que a esfera está rolando sem deslizar, o que significa que a velocidade angular ( ) está relacionada com a velocidade linear ( ) pela relação:
onde é o raio da esfera.

Passo 4

Além disso, o momento de inércia ( ) para uma esfera sólida é dado por:
onde é a massa da esfera.

Passo 5

Vamos substituir e na fórmula da energia cinética de rotação:

Passo 6

Agora, somamos as duas partes da energia cinética:

Passo 7

Para encontrar a massa ( ) da esfera, usamos o peso ( ):
onde .
Substituindo os valores:

Passo 8

Agora, substituímos e na fórmula da energia cinética:
Calculando passo a passo:

Resposta

A energia cinética da esfera na base do plano inclinado é aproximadamente 60,49 Joules.

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