Questão: - uma esfera sólida (Ic m=2 / 5(W R^2)) de peso igual a P=35,58 N sobe rolando um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação é igual a theta=30^circ. Na base do plano, o centro de massa da esfera tem uma velocidade linear de V0=4,88 m / s.
(a) Qual é a energia cinética da esfera na base do plano inclinado?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma esfera sólida que está rolando por um plano inclinado. A pergunta é: qual é a energia cinética da esfera na base do plano? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia cinética de objetos em movimento de translação e rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética total de um objeto que está rolando é a soma da energia cinética de seu movimento linear (translação) e da energia cinética de sua rotação. A fórmula geral para a energia cinética total (KE) é:
KE = KEtrans + KErot
onde:
  • (energia cinética de translação)
  • (energia cinética de rotação)

Passo 3

Sabemos que a esfera está rolando sem deslizar, o que significa que a velocidade angular ( omega = VR ) está relacionada com a velocidade linear ( ) pela relação:
onde é o raio da esfera.

Passo 4

Além disso, o momento de inércia ( I = 25 m R^2 ) para uma esfera sólida é dado por:
onde é a massa da esfera.

Passo 5

Vamos substituir KErot = 12 ( 25 m R^2 ) ( VR )^2 = 12 cdot 25 m cdot V^2R^2 cdot R^2 = 15 m V^2 e na fórmula da energia cinética de rotação:

Passo 6

Agora, somamos as duas partes da energia cinética:
KE = 12 m V^2 + 15 m V^2 = ( 12 + 15 ) m V^2 = 710 m V^2

Passo 7

Para encontrar a massa ( P = m g Rightarrow m = Pg ) da esfera, usamos o peso ( m = 35,58 , N9,81 , m/s^2 approx 3,63 , kg ):
onde .
Substituindo os valores:

Passo 8

Agora, substituímos KE = 710 times 3,63 , kg times (4,88 , m/s)^2 e 4,88^2 = 23,8144 , m^2/s^2 na fórmula da energia cinética:
KE = 710 times 3,63 times 23,8144 approx 0,7 times 3,63 times 23,8144 approx 60,49 , J
Calculando passo a passo:

Resposta

A energia cinética da esfera na base do plano inclinado é aproximadamente 60,49 Joules.

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