Máquina de Atwood, polia com massa. Considere a figura ao lado onde M1=3 0 k g e M2=2 0 k g a polia com massa M3=5 k g e raio R=10 cm. Dado que o mo- mento de inércia do disco é dado por I ducco =12 M3 R^2 e a corda ideal que liga os dois blocos não desliza na polia, faz a polia girar. Considerando que o sistema é liberto a partir do repouso calcule:
a) escreva as equações de movimento dos dois blocos e da polia;

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma máquina de Atwood com dois blocos: um de 30 kg ( ) e outro de 20 kg ( ). A polia que conecta os blocos tem uma massa de 5 kg ( ) e um raio de 10 cm ( ). A gente também sabe que o momento de inércia da polia é . A corda entre os blocos não desliza na polia, ou seja, a polia gira conforme os blocos se movem. Vamos usar as leis de Newton para mexer com as forças e torques nessa parada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as forças que estão agindo em cada bloco. No bloco , tem a força da gravidade puxando pra baixo ( ) e a tensão da corda puxando pra cima ( ). Já no bloco , temos a força da gravidade puxando pra baixo e a tensão puxando pra cima.

Passo 3

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para o bloco M1 g - T1 = M1 a . A fórmula é:
Aqui:
  • é o peso do bloco ,
  • é a tensão na corda que está puxando o bloco pra cima,
  • é a aceleração dos blocos.
Isso significa que a diferença entre o peso e a tensão resulta na força que acelera o bloco.

Passo 4

Fazendo o mesmo para o bloco T2 - M2 g = M2 a , temos:
Aqui:
  • é a tensão na corda puxando o bloco pra cima,
  • é o peso do bloco ,
  • é a mesma aceleração dos blocos.
Note que a tensão está trabalhando no sentido oposto da gravidade.

Passo 5

Agora, vamos ver o que acontece na polia. A polia está girando porque as tensões tau = T1 R - T2 R e tau = I alpha estão puxando em direções opostas. O torque total na polia é:
T1 R - T2 R = I alpha
Como a segunda lei de Newton para rotação diz que torque é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular ( ):
Então, substituindo:

Passo 6

Temos que ligar a aceleração linear a = alpha R dos blocos com a aceleração angular da polia. Como a corda não desliza:
Isso conecta as duas acelerações, já que a parte linear do movimento está relacionada à rotação da polia.

Resposta

As equações de movimento são:
  1. Para o bloco M1 g - T1 = M1 a :
T2 - M2 g = M2 a
  1. Para o bloco T1 R - T2 R = I alpha :
a = alpha R
  1. Para a polia:
Com a relação entre as acelerações:

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