Um disco com
m de raio e
de massa gira livremente em torno de um eixo horizontal fixo passando pelo seu centro. Aplica-se-lhe uma força de
puxando-se um fio enrolado em sua borda. Determine a aceleração angular do disco e sua velocidade angular após 2 s .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre um disco que está girando livremente em torno de um eixo fixo. Queremos descobrir duas coisas: a aceleração angular do disco e a sua velocidade angular após 2 segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Dinâmica Rotacional, que estuda o movimento de rotação dos corpos. Precisaremos entender como aplicar a força para encontrar a aceleração angular e, depois, como essa aceleração afeta a velocidade ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a aceleração angular (
). Sabemos que a força (
) aplicada gera um torque (
) no disco. O torque é dado por:
Onde:
-
é a força aplicada. -
é o raio do disco.
Então:
Passo 3
Agora, precisamos relacionar o torque com a aceleração angular. Para isso, usamos a segunda lei de Newton para a rotação:
Onde:
-
é o momento de inércia do disco. -
é a aceleração angular que queremos encontrar.
Para um disco sólido, o momento de inércia é:
Com
e
:
Passo 4
Agora, substituímos os valores de
e
na equação
para encontrar
:
Resolvendo para
:
Passo 5
Com a aceleração angular (
) conhecida, podemos encontrar a velocidade angular (
) após um certo tempo usando a equação:
Assumindo que o disco parte do repouso,
. Então, com
:
Resposta
A aceleração angular do disco é de
e a sua velocidade angular após 2 segundos é de
.