Um disco com 0 , 5 m de raio e 2 0 k g de massa gira livremente em torno de um eixo horizontal fixo passando pelo seu centro. Aplica-se-lhe uma força de 9, 8 N puxando-se um fio enrolado em sua borda. Determine a aceleração angular do disco e sua velocidade angular após 2 s .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre um disco que está girando livremente em torno de um eixo fixo. Queremos descobrir duas coisas: a aceleração angular do disco e a sua velocidade angular após 2 segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Dinâmica Rotacional, que estuda o movimento de rotação dos corpos. Precisaremos entender como aplicar a força para encontrar a aceleração angular e, depois, como essa aceleração afeta a velocidade ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração angular ( tau = F times r ). Sabemos que a força ( tau = 9,8,N times 0,5,m = 4,9,N cdot m ) aplicada gera um torque ( ) no disco. O torque é dado por:
Onde:
  • é a força aplicada.
  • é o raio do disco.
Então:

Passo 3

Agora, precisamos relacionar o torque com a aceleração angular. Para isso, usamos a segunda lei de Newton para a rotação:
tau = I times alpha
Onde:
  • I = 12 m r^2 é o momento de inércia do disco.
  • I = 12 times 20,kg times (0,5,m)^2 = 12 times 20 times 0,25 = 2,5,kg cdot m^2 é a aceleração angular que queremos encontrar.
Para um disco sólido, o momento de inércia é:
Com e :

Passo 4

Agora, substituímos os valores de 4,9,N cdot m = 2,5,kg cdot m^2 times alpha e alpha = 4,92,5 = 1,96,rad/s^2 na equação para encontrar :
Resolvendo para :

Passo 5

Com a aceleração angular ( omega = omega0 + alpha times t ) conhecida, podemos encontrar a velocidade angular ( omega = 0 + 1,96,rad/s^2 times 2,s = 3,92,rad/s ) após um certo tempo usando a equação:
Assumindo que o disco parte do repouso, . Então, com :

Resposta

A aceleração angular do disco é de e a sua velocidade angular após 2 segundos é de .

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